共形場理論と量子群

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A. D. E. 型単純リー環gと互いに素な正の整数の組p+, p-で共にgのコクスター数より大きいか等しいものに対して、g型のレベル(p+, p-)をもつ拡大W-代数M (g)の定義を、自由場表示とScreening作用素のセルバーグ型積分によって定義されるまつわり作用素を使って行なった。また、そのすべての既約表現であると期待される有限個のM (g)加群を構成した。拡大W-代数M (g)とこれらのM (g)加群の構造を解析するため、必要な理論を基礎環の複素数体Cから一変数形式的巾級環O=C[[ε]]にもちあげて、理論を解析中である。理論をO加群のカテゴリーで行ない、Oの商体Kの定数拡大を行ない、得られたK加群にO加群としてのフィルターづけを行なう。すると、理論の展開はO加群としてフィルターされたK加群のつくるexact categoryの中で行なわれる。このフィルターに関する次数づけ加群をとることにより、Z-graded C-ベクトル空間の圏にうつることができる。Z-graded C-ベクトル空間のカテゴリー内でM (g)の展開が得られる。この理論を精密に解析することにより、M (g)のC_2-有限性と構成してあったM (g)加群の既約性およびM (g)加群のつくるアーベル圏のブロック分解について最終結果を得るべく研究中である。なお、gがsl2である場合には、昨年度前半までにS. Wood氏と共同でこれらのプログラムを完全に遂行し、論文目録[1]にあるとおり、専門誌にアクセプトされ、出版予定である。