2次元場の量子論と無限次元リー環および量子群の表現論

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この研究は、2次元共形場理論より出発して、質量を持つ2次元場の量子論に迫ることを目的としている。共形場理論の主要な対称性は、共形不変性をあらわすヴィラゾロ代数である。しかし、質量を持たすと、共形不変性は成立しなくなる。しかし、可積分な理論と呼ばれる場合には、無限個の積分不変量が存在すると考えられている。申請者達は、sl_2型のアファイン・リー環のレベルk可積分表現に従う共形場理論の可積分変形を問題にし、可積分表現空間の新しいスペクトル分解公式を得た。具体的には、この表現空間の2次元頂点型格子模型のパス空間の実現より出発して、この空間を局所エネルギー関数によって分解することである。この分解は、ヤング図形,共形場理論のN頂点作用素の空間,及びYangianの表現空間の3つでパラメトライズされている。この結果、レベルk可積分表現の新しい指標公式を得ることができる。これらの結果は、comm.of math.phy.に発表が決まっている。これらの結果は、この表現空間に、Yangianと無限個の積分不変量をあらわす作用素達が作用していることを具体的に暗示している。これらの作用を構成することはまだ成功していないが、退化したアファイン・ヘッケ環の頂点作用素への作用を通じて表現できると考えている。このとき、無限個の積分不変量は、アファイン・ヘッケ環の中心として、超幾何高階微分作用素としてあらわされ、Yangianは、退化したアファイン・ヘッケ環よりのDrinfeld構成としてあらわれると考えている。これらのことは、現在研究を続行中である。