グラフ上の逆問題に対する境界制御法を用いた解析手法について

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研究の目的、研究実施計画に書いたように、平成24年度はC^*代数を用いた逆問題の解析手法の確立と数値計算についての研究を行った。とくに、C^*代数を用いた解析手法の研究については、境界観測に関連し逆問題に応用可能であると考えているあるC^*代数が属するクラスを決定するという成果を得た。このことで、今後、逆問題の問題設定や、その解析を行う枠組みが非常に明確になったと考えている。このことは、"AC^* algebra associated with a graph and its possible application to inverse problems"として論文を発表する予定である。このようなC^*代数を用いた逆問題への取り組みは例が少なく、多様体上では共同研究者のロシアの肌Belishev教授が成果を得ているが、多様体については代数が可換になるのに対しグラフ上では非可換になることが証明されている。それが解析の困難点となっているが、同時に、数学の観点からは興味深い点にもなっていると考えている。さらに、逆問題への応用という観点からは、逆問題を設定する新たな切り口が得られるものと考えている。詳細に調べたいくつかの具体例については、境界観測に関連するC^*代数の既約表現全体に、ある自然な位相を入れたとき、その位相構造の特異点の個数がグラフに含まれる頂点の個数に関係することを発見している。このことは、今年度発見したクラスの枠組みに拡張することを考えている。実際、このことは、従来の方法では設定できなかったような枠組みでの問題設定となっている。