非線形偏微分方程式の逆問題及び制御問題の研究

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非線形偏微分方程式に対する逆問題の研究は揺藍期にあり、今後研究が飛躍的に盛んになると思われる。このような状況の中で、研究代表者と日本学術振興会外国人特別研究員のJishan Fanは、流体方程式や非線形波動方程式の逆問題について先駆的な研究を試みると同時に、逆問題解析に必要な解の正則性について研究した。得られた研究成果は以下の(i)～(iii)である。i)解の正則性研究:Navier-Stokes方程式やMHD方程式について、解の正則性を保証する従来の条件を改良した。(論文[2],[3])(ii)流体方程式の逆問題の研究:Navier-Stokes方程式の粘性係数が、未知でしかも場所に依存する場合に、境界近くで解の情報と初期データの情報が得られるとして、これらの情報から未知粘性係数の同定に関する安定性評価を与えた。(論文[1])安定性評価は、当該逆問題の設定、その非適切性の度合いを図る尺度として重要である。(iii)非線形波動方程式の逆問題の研究:非線形項が解の勾配微分にのみ依存するような空間多次元非線形波動方程式について、ある種の解の境界における情報から非線形項のテーラー展開係数決定を、第二次まで求める研究を行った。まだ、研究は完了していないが、ほぼ研究完了の見通しが立った。将来的には、所謂高次弾性テンソルの測定方法の理論への糸口となる研究である。