熱力学形式によるクライン群の幾何の研究

はじめに，フックス群および自由群の非自明正規部分群で，収束指数がもとの群の 1/2 となるものの例の構成を試みた．収束指数を商空間のラプラシアンのスペクトルの底で読み替えて，それを幾何学的に評価する方針をとったが，等周定数を用いる方法では原理的に不可能であることがわかった．ラプラシアンの固有関数を構成して，スペクトルの底を直接に評価することも成功しなかった．収束指数が最大指数の 1/2 以下となる群の構成法がほとんど知られていないこと，およびある軌道に関する反転で生成される群の収束指数をもとの軌道に関する収束指数で評価する問題が重要であることが判明した．その後，収束指数がもとの群の 1/2 に近づく非自明正規部分群の列の構成を自由群の場合に考察した．方法はやはりスペクトルの底を等周定数を用いて評価するのであるが， Mohar によるグラフ理論の結果で，スペクトルの底は等周定数を用いて評価できることがわかった．さらに，等周定数は平面グラフの場合には単射半径で評価できることを示した．結論としては，自由群の生成元の十分大きなべきで生成される正規部分群の列をとれば，収束指数がもとの群の 1/2 に近づくことが証明できた．（相対）双曲群の非自明正規部分群による剰余類群の増大度（収束指数）に関するW. Yang の結果に，これがもとの双曲群の収束指数に近づくような群の列を構成するものがある．剰余類群の増大度と，上で述べた商空間のラプラシアンのスペクトルの底および等周定数の間の関係は，Mohar による同じ論文で研究されている．これにより，自由群の場合には剰余類群の増大度の問題は，非自明正規部分群の収束指数（双対増大度）に関する研究結果からも従うことがわかった．さらに，自由群の収束指数，非自明正規部分群の双対増大度および剰余類群の増大度の間に成立する関係式を導くことができた．

はじめに，フックス群および自由群の非自明正規部分群で，収束指数がもとの群の 1/2 となるものの例の構成を試みた．収束指数を商空間のラプラシアンのスペクトルの底で読み替えて，それを幾何学的に評価する方針をとったが，等周定数を用いる方法では原理的に不可能であることがわかった．ラプラシアンの固有関数を構成して，スペクトルの底を直接に評価することも成功しなかった．収束指数が最大指数の 1/2 以下となる群の構成法がほとんど知られていないこと，およびある軌道に関する反転で生成される群の収束指数をもとの軌道に関する収束指数で評価する問題が重要であることが判明した．その後，収束指数がもとの群の 1/2 に近づく非自明正規部分群の列の構成を自由群の場合に考察した．方法はやはりスペクトルの底を等周定数を用いて評価するのであるが， Mohar によるグラフ理論の結果で，スペクトルの底は等周定数を用いて評価できることがわかった．さらに，等周定数は平面グラフの場合には単射半径で評価できることを示した．結論としては，自由群の生成元の十分大きなべきで生成される正規部分群の列をとれば，収束指数がもとの群の 1/2 に近づくことが証明できた．（相対）双曲群の非自明正規部分群による剰余類群の増大度（収束指数）に関するW. Yang の結果に，これがもとの双曲群の収束指数に近づくような群の列を構成するものがある．剰余類群の増大度と，上で述べた商空間のラプラシアンのスペクトルの底および等周定数の間の関係は，Mohar による同じ論文で研究されている．これにより，自由群の場合には剰余類群の増大度の問題は，非自明正規部分群の収束指数（双対増大度）に関する研究結果からも従うことがわかった．さらに，自由群の収束指数，非自明正規部分群の双対増大度および剰余類群の増大度の間に成立する関係式を導くことができた．