Quasiconformal extension in differential geometry and theory of the universal Teichmueller space in harmonic analysis

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ヴェイユ・ピーターソン計量を普遍タイヒミュラー空間に導入する研究は Takhtajan-Teo によりなされ，ヒルベルト多様体の構造および曲率に関する研究がなされた．その各連結成分がヴェイユ・ピーターソンタイヒミュラー空間である．複素解析的なタイヒミュラー空間論の枠組みでの研究は Shen が推し進めている．ヴェイユ・ピーターソン曲線は，このタイヒミュラー空間に対応する擬円周である．最近，Bishop はこの曲線に関する包括的な研究を行い，複素解析，平面幾何，曲面論，３次元双曲幾何など様々な観点からの特徴付けを与えている．また，Wang は SLE 理論の研究のなかで，曲線のレブナーエネルギーの有限性がヴェイユ・ピーターソン曲線であるための同値条件であることを証明した．本研究課題では，ヴェイユ・ピーターソン擬等角写像を実軸へ拡張した擬対称写像が属する関数空間の特徴付けのために，熱核を畳み込みの核とする擬等角拡張を用いた議論を展開した．また，ヴェイユ・ピーターソン曲線の正則な座標付けを同時一意化という方法を用いて行ない，パラメーターに関する解析的依存性に関する理論を簡明に展開することに成功した．また，BMO タイヒミュラー空間と弦弧曲線についても類似の研究を行った．複素平面の双リプシッツ自己同相写像による直線の像を弦弧曲線という．弦弧曲線を像にもつような直線の埋め込みの全体は BMO タイヒミュラー空間の直積で座標付けすることができる．本研究課題では，弦弧曲線の空間から実軸上の BMO 関数からなる複素バナッハ空間の領域への対応が双正則同相になるという基本定理を証明した．さらに，この２つの同値な複素構造を利用して，関連する空間，とくに VMO タイヒミュラー空間について，写像の解析的な依存性に関して明確な説明を与えた．