局所化を用いたゲージ理論の厳密評価による双対性の検証と超弦理論への応用

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先行研究において、３次元のある曲がった空間（３次元楕円体とＳ１×Ｓ２）上で、4つの超対称性を持つ理論の分配関数が渦分配関数の観点で因子化されることが示され、それらの因子化構造には背景の幾何学的構造と超対称性が絡んでいると考えられている。この構造は、３次元に限らずより一般の曲がった空間上の超対称ゲージ理論を構成するより基本的なブロックと考えることができるため興味深い対象といえる。この因子化構造の理解を深めるために、まず４次元でも同じ構造が存在するかどうか調べた。具体的には、Ｔ2×Ｓ2上の超対称ゲージ理論の局所化を用いた厳密解析に取り組んだ。未だ研究は途中段階であるが、現段階で明らかになったことをここにまとめる。まず４次元理論を2次元の理論に落としこむことによって解析しやすくなることに着目した。具体的にはＴ2×Ｓ2上の理論をＳ2上の球面調和関数で展開することにより、各モードごとのＴ2上の理論を解析する問題に帰着させた。また、無限大のモードの中のある一部のモードしか分配関数の計算結果に効かないことを示し、さらにその中の寄与の相殺構造を明らかにすることで４次元のＴ2×Ｓ2上の理論は対応する次元簡約したＴ2上の理論の楕円種数によって厳密に表せることを示した。因子化構造の目的とは異なるが、４次元と２次元の間の新たな非自明な双対関係となっており、様々応用が期待できる。具体的には、今まで知られていた超弦理論と２次元ゲージ理論の関係を、そのまま４次元理論にまで拡張できる。また、逆に４次元理論において考えられていた双対性を２次元理論を通して超弦理論に関係づけるといった方向性も考えられる。また、３次元と同じように渦分配関数の観点で因子化されることも示した。しかし、３次元の時とは少し構造が異なり、その渦分配関数の具体的評価、解釈が未だ分かっていない状況である。