準モンテカルロ積分の理論と応用

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本研究では，加速的に積分誤差が収束する関数空間と，その空間に対して準モンテカルロ積分を用いたときの計算容易性，およびソボレフ空間における準モンテカルロ積分について一定の成果を得た．結果１：b進デジタルネットと呼ばれる点集合を数値積分に用いる際に，その良さを測る尺度のひとつがWAFOMである．2進WAFOMは，高速に収束し，とある空間の積分誤差を評価することが知られていた．本研究では，まず滑らかな関数のWalsh係数の大きさを評価する新しい手法を発見した．その結果，b進WAFOMも2進の場合と同様の良い性質を持つことが分かった．さらに，滑らかな，関数の高階導関数のノルムが高々指数的にしか増大しないような関数からなる，積分誤差がWAFOMで抑えられるような空間を定めることができた．結果２：金融などで現れるような超高次元の数値積分においても，準モンテカルロ積分は成功をおさめてきた．この現象を数学的に説明するために，重み付き関数空間および計算容易性の概念が導入されている．重み付き関数空間とは，変数ごとに重要度が異なる状況を表すような関数空間であり，計算容易性とは，誤差を一定以内に抑えるために必要な関数評価の回数が次元について指数的に依存することが避けられることを意味する．本研究では，適切に滑らかな関数からなる重み付き関数空間を定義することで，積分誤差および重み付きWAFOMが，積分領域の次元にまったく依存せずに高速に収束することを示した．この結果は，いかなる高次元の積分に対しても数値積分がうまくいくという意義のある結果である．結果３：支配的ソボレフ空間上の準モンテカルロ積分が，収束の最良オーダーを達成することを初めて示した．この結果は，準モンテカルロ積分に高階デジタルネットを用いることが有効だと示している．