３次元多様体におけるイデール理論の構成と応用

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数論的位相幾何学の思想に基づき，数論と低次元トポロジーの類似の観点から，整数論におけるイデール的類体論の類似物の構成を3次元多様体多様体の世界で行った．今年度は，昨年度の共同研究者である植木潤氏（東京大学）と引き続き共同研究を行った．具体的に得られた成果は以下の点である．まず素数全体の集合の類似物として得られたとても許容的な絡み目という概念を導入し，位相幾何学的な手法を用いてその存在を示した．またこのとても許容的な絡み目に対して得られるイデール群という概念を導入し，主イデール群と呼ばれる基本的な対象の自然な幾何学的な解釈を与えた．これまでの研究では主イデール群は代数的な対象として得られていたが，それを3次元多様体の中の曲面的な対象で解釈できるという結果が主な成果である．主イデール群を曲面的な対象で定義するというのは従来の類似の理論とも整合性が取れており，これにより，我々の定義したイデール理論が3次元トポロジー的にも自然な対象であるという解釈を与えたと言える．類体論の類似を構成することによる応用として，平方剰余の相互法則の類似物である絡み数の対称性を示したことがある．トポロジー的には自明な結果であるが，類体論を用いて平方剰余の相互法則を示すのと同様の手法を用いて，絡み数の対称性示すことができるという結果は意義があると思われる．また，数論において類体論を用いた応用として，ガウスの種の理論で定義される種数の計算という先行研究があったが，そのトポロジー類似を共同研究者である植木潤氏が示した．これは我々のイデール理論が然るべき形で応用され得るという一つの確証を与えるものである．