対合を持つ3次元多様体のSWフレアホモトピー型の構成

本年度行った研究は主にふたつである.(1) 指数の局所化を用いた,インスタントンモジュライ空間の向き付けの問題と(2) 反線形な対合のサイバーグ・ウィッテン(SW)理論である.このうち, (1)は研究課題の周辺の話題だが, (2)は直接研究課題にかかわるものであり,研究課題の一部は完成したことになる. まず(1)について説明する. 本年度は指数の局所化を用いて一般のコンパクトリー群 G に対してインスタントンモジュライの向き付け可能性および標準的な 向きの入れ方の問題を研究した. 本手法は本質的にJoyce-Tanaka-Upmeierの局所化の方法に一致することがわかったが, 技術的により簡潔でさらにJoyce-Tanaka-Upmeierの論文で明らかになっていなかったモジュライの向きの付加的なデータへの依存性を明らかにできた. 次に(2)について説明する. 3, 4次元多様体の対合ιであって, 固定部分が余次元 2の部分多様体であるものをとる. このときSW方程式の未知関数についてιをカバーするような対合Iが存在しSW方程式はIについて同変である. Iの作用は「ねじった」ものを考えるので通常の同変理論とは異なる. この設定は私が研究課題に設定した対合付きSW理論である. 昨年度はこの設定でSWホモトピー型を構成し, 今野北斗氏, 谷口正樹氏との共同研究により結び目の 4次元種数(S^4の場合ではなく一般の4次元多様体に対して定義 される種数) への応用を出したが, 今年度は結び目を張る曲面が向き付け不可能な場合の種数の下からの評価や non-smoothableな多様体への作用 へ結果を拡張できた. さらに, 対合つきSW理論を用いてエキゾチックな曲面の 4 次元多様体への埋め込みを検出できることがわかった.

本年度行った研究は主にふたつである.(1) 指数の局所化を用いた,インスタントンモジュライ空間の向き付けの問題と(2) 反線形な対合のサイバーグ・ウィッテン(SW)理論である.このうち, (1)は研究課題の周辺の話題だが, (2)は直接研究課題にかかわるものであり,研究課題の一部は完成したことになる. まず(1)について説明する. 本年度は指数の局所化を用いて一般のコンパクトリー群 G に対してインスタントンモジュライの向き付け可能性および標準的な 向きの入れ方の問題を研究した. 本手法は本質的にJoyce-Tanaka-Upmeierの局所化の方法に一致することがわかったが, 技術的により簡潔でさらにJoyce-Tanaka-Upmeierの論文で明らかになっていなかったモジュライの向きの付加的なデータへの依存性を明らかにできた. 次に(2)について説明する. 3, 4次元多様体の対合ιであって, 固定部分が余次元 2の部分多様体であるものをとる. このときSW方程式の未知関数についてιをカバーするような対合Iが存在しSW方程式はIについて同変である. Iの作用は「ねじった」ものを考えるので通常の同変理論とは異なる. この設定は私が研究課題に設定した対合付きSW理論である. 昨年度はこの設定でSWホモトピー型を構成し, 今野北斗氏, 谷口正樹氏との共同研究により結び目の 4次元種数(S^4の場合ではなく一般の4次元多様体に対して定義 される種数) への応用を出したが, 今年度は結び目を張る曲面が向き付け不可能な場合の種数の下からの評価や non-smoothableな多様体への作用 へ結果を拡張できた. さらに, 対合つきSW理論を用いてエキゾチックな曲面の 4 次元多様体への埋め込みを検出できることがわかった.