共形構造と射影構造の微分幾何

共形和射影结构的微分几何

• 批准号: 16K05129
• 负责人: 小林 治
• 金额: $ 2.5万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2016
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2016-04-01 至 2017-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16K05129/
• 关键词: 共形微分幾何; 射影微分幾何; Weyl のゲージ理論; Schwarz 微分; Laguerre 幾何; 共形的長さ; リーマン幾何学; 共形微分幾何学; 射影微分幾何学

1990年代に和田昌昭氏との共同研究で得た曲線の Schwarz 微分は数あるSchwarz 微分の一般化の中で，射影微分幾何におけるミッシングリンクであることが明らかになってきた．昨年度 Laguerre 幾何を用いた L-変換と名付けた幾何学変換を用いて閉曲線 x の共形不変な長さ l(x) を得た．当初この理論は高次元化してその意義がはっきりするであろうと考えたが，実際は１次元での考察が本質的であることが明らかになってきた．具体的な結果：(1) ユークリッド球面 S＾n の閉曲線 x に対して l(x)≧2π．等号は x が正円の時に限る．(2) 多様体 M の次元は3以上とする．共形類 C に付随する Weyl のゲージ理論に関してゲージ不変な Schwarz 微分 s_w x が定義できる．(3) Laguerre 幾何的変換を用いることなく，この Schwarz 微分を用いて閉曲線 x の共形的長さ l(x) が定義できる．(4) 共形不変量 l(M,C)=inf{l(x)| x:S＾1 -> M} について一般に l(M,C)≦l(S＾n).(1), (4) から l(M,C) と山辺の共形不変量 μ(M,C) に明白な類似性がある．予想： l(M,C)=l(S＾n) ならば (M,C) = S＾n．いわゆる山辺の問題の解決において最後の壁となったのはμ(M,C) に対する同様の命題であった．しかしこの予想は山辺の問題とは異なるアイデアが必要となるであろう．(M,g) がコンパクト階数1対称空間の場合 (M,[g])に対してこの予想は正しい（2013年論文），また C が Einstein 計量を含む場合に予想を支持する結果を得た．射影微分幾何での対応するゲージ理論および新たなSchwarz微分により射影微分幾何の新たな基礎付けを得た．

In the 1990s, Masaki Wada and his colleagues jointly studied the Schwarz differential of curves and generalized Schwarz differential of projective differential geometry. Laguerre geometry is used in L-transformation, geometry is used in L-transformation, closed curve x and conformal transformation are used in L-transformation, geometry is used in L-transformation, closed curve x and conformal transformation are used in L-transformation. The original theory is highly dimensional, and the meaning of the theory is high. Specific results: (1) closed curve x of spherical surface S^n corresponds to l(x) ≥ 2π. The equal sign x is positive. (2)Multidimensional M is above 3. The conformal class C is dependent on Weyl's theory of invariance and the Schwarz differential s_w x can be defined. (3)Laguerre geometric transformation is used to define the conformal length of a closed curve x. (4)Conformal invariance l(M,C)=inf{l(x)}| x:S^1 -> M} l(M,C)$> l(S^n). (1), (4) l(M, C) Consider: l(M,C)=l(S^n)(M, C) = S^n. The problem is different. (M,g) For the case where (M,[g]) is a symmetric space with order 1, C is Einstein's metric. Projective differential geometry is a new theory and Schwarz differential is a new foundation of projective differential geometry.

项目成果

ワイルと微分幾何

外尔和微分几何

• 发表时间: 2016
• 期刊: 数理科学
• 作者: Eduardo Gonzalez;Hiroshi Iritani;入谷 寛;小林 治
• 通讯作者: 小林 治

Weyl のゲージ理論，Schwarz 微分，そしてある球面定理

韦尔规范理论、施瓦茨微分和球面定理

• 发表时间: 2017
• 作者: 小林 治