Einstein metrics and Ricci flow on singular spaces, and study of the Yamabe invariant

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研究課題は特異多様体上の山辺計量およびそれを応用した山辺不変量の研究であった．得られた成果は，共同研究者のI.Mondelloとの下記の研究である：(1)　特異Einstein多様体として典型例であるedge-cone球面(S^n, h_a)を扱い，その上の山辺の問題を考えた．ここで，h_aはS^n上のedge-cone angleが2πaの標準定曲率1計量を表す．まず0 < a < 1の場合，小畠型の定理，すなわちh_aに共形的な定スカラー曲率計量は，(S^n, h_a)の特異集合S^{n-2}を保つS^nのある共形変換によるh_aの引き戻しとなることを示した．さらにa > 2の場合には，h_aに共形的なedge-cone山辺計量は存在しないことを示した．この非存在定理の証明には様々な結果が使われるが，特に特異空間上の被覆空間の山辺定数に関するAubinの補題と定スカラ―曲率特異計量に関する正則性定理という我々が開発した結果が使われる．この様な特異山辺計量の非存在定理は，先ずViaclovskyによってorbifoldの場合に得られたが，我々の例は2番目の例となる．彼の例は特異集合の次元が最小次元のゼロで，我々の例は特異集合の次元が最大次元のn-2となり，対照的な結果である．(2)　山辺計量・山辺不変量に関する諸問題を「幾何解析の問題」としてまとめ，RIMS Kokyurokuとして出版された．(3)　連携研究者の濱中氏と境界付きコンパクト多様体上のRicci flowの初期値問題とその幾何学的応用の研究で進展があった．