スカラー曲率が正の山辺計量の収束・退化の研究

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当科学研究課題の目的は、スカラー曲率が正の山辺計量の収束・退化の解析とその低次元多様体への応用であった。具体的研究成果は下記の通りである。(1)山辺不変量正かつ体積1の山辺計量を持つn次元多様体の族Y(n)を考え、さらにある種の曲率積分有界の条件下で、収束・退化に関する成果を得た。これは、"11.研究発表の3番目の論文"の主結果の一般化である。(2)山辺計量の族Y(n)を考え、(1)とは別のタイプの種々の曲率積分有界の条件下で、それらのコンパクト性定理や正の定曲率計量に対するピンチング定理を得た。特に新しいタイプの定理としては、3次元閉多様体上の平坦な共形構造に対するピンチング定理を得た。以上(1)、(2)の研究成果は、次の論文にまとめており現在投稿中である。"K.Akutagawa,Convergence for Yamabe metrics of positive scalar curvature with integral bounds on curvature."またこれらの研究過程において、スカラー曲率が正の山辺計量は、トポロジーへの応用上、3次元の場合が特に有用でありかつ幾つかの予想問題が自然に提出されることがわかった。4次元の場合においても、反自己双対共形構造に対象を制限すれば、山辺計量の収束・退化の研究はそのモデュライ空間の研究に有用である(この場合には、山辺不変量の符号の条件は不必要となる)。実際"Sobolev半径"と言う概念が導入でき、それを物差しとして、反自己双対的山辺計量の収束・退化の解析はある程度可能であることもわかった。この対象においては具体例が豊富で、今後の研究は反自己双対的山辺計量の収束・退化の研究を中心に進める予定である。上記の研究において、研究費補助金による研究連絡は極めて重要であった。