反自己双対計量の収束・退化の研究とそのトポロジーへの応用について

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本研究の目的は、コンパクト4次元多様体M上の反自己双対計量の次の族に、Gromov-Hausdorff距離を導入し、その列の収束・退化を調べることであった。【numerical formula】ただし、μ(M.[g])を共形類[g]の山辺不変量、μ_0を定数(正数とは限らない)とする。その際、山辺不変量の局所化から自然に定義されるSobolevその際、山辺不変量の局所化から自然に定義されるSobolev 半径を物差しとしたMのthin-thick分解をその収束・退化の解析手段の基本とした。しかしながら次の2点が克服出来ず、本研究は不完全なものとなってしまった。(1)Mの測地球の体積の上からの一様評価を証明すること(この評価はthick部分の計量のバブル現象の詳しい解析において必須である)。(2)Mのthin部分にはF-構造がはいることを示す。当該年度の前半において反自己双対計量の具体例の解析不足を認識し、後半は一貫してその具体例の持つ性質を調べた。その具体例とは、LeBrunのhyperbolic Ansatzおよびその一般化によるS^1-不変な反自己双対計量、JoyceによるT^2-不変な反自己双対計量等である。その過程で、知られている具体例は全て、局所的にスカラー平坦なケーラー計量に共形的であることに気づいた(複素構造も各点の近傍でのみ定義される)。その後、一般にそのような局所構造を持つかどうかを基本問題とし、反自己双対計量の局所的特徴付けの研究している。この研究方向は、今後の反自己双対計量の収束・退化の研究にも有用であると期待される。上記の研究において、研究費補助金による研究連絡は極めて重要であった。