整凸多面体の組合せ論とトーリック幾何学

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トーリック幾何学に関して次の結果を得た．1. トーリック log del Pezzo 曲面は，対応する扇が特異な 2 次元多面錐を 2 個以上もつならば（すなわち，特異点を 2 個以上もつならば），非特異な 2 次元多面錐が 3 個以下である（すなわち，もとのトーリック log del Pezzo 曲面のピカール数が (特異点の個数)+1 以下である）ことを示した．更に，各 n≧2 に対し，扇が特異な 2 次元多面錐を n 個もち，非特異な 2 次元多面錐を 3 個もつようなトーリック log del Pezzo 曲面の具体例も構成した．昨年度，任意のトーリック log del Pezzo 曲面の扇は，非特異な 2 次元多面錐が連続して並ぶ（したがって，特異な 2 次元多面錐も連続して並ぶ）ことを示しているが，証明にはこのことを用いる．2. 特異なトーリック log del Pezzo 曲面は，別のトーリック log del Pezzo 曲面の非特異なトーラス不動点を中心としたブローアップとして得られないならば，対応する扇の非特異な 2 次元多面錐が 2 個以下であることを示した．3. 8 次元の非特異トーリック Fano 多様体で第 2 Chern 指標が正であるものは射影空間に限ることを示した．実際，del Pezzo variety とよばれる多様体を除く，ピカール数 2 以上のすべての 8 次元非特異トーリック Fano 多様体に対し，第 2 Chern 指標との交点数を 0 以下にするトーラス不変な部分曲面としてピカール数 2 のものがとれることを示した．これらは，次元が 7 以下の場合と同様の結果である（佐藤拓氏（福岡大学），佐野友二氏（福岡大学）との共同研究）．