Moduli Space of Reduced Grobner Bases and Its Geometry

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Bertone-Cioffi-Roggero (2017)（以下BCR17）は固定したヒルベルトスキーム上のボレルイデアルの集合に, 考えている射影空間の座標環上の項順序から誘導される前順序が定義できることを示した. その前順序をボレル順序とよぶことにする. このとき, ヒルベルトスキームの任意の既約成分はただ１つのボレル順序に関する極大ボレルイデアルをもつ. したがって, 不等式(ボレル順序に関する極大ボレルイデアルの個数)≦(ヒルベルトスキームの既約成分の個数)が成り立つ. 一方でLella教授は二つのボレルイデアルがある組合せ論的条件を満たしているとき, それらのボレルイデアルは有理曲線によってヒルベルトスキーム上で弧状連結であることを示した. またそのような有理曲線には与えられた項順序より自然に誘導される向き付けが存在する. 神戸はその向き付けがBCR17で定義されたボレル順序と同等であることを示し, Paolo Lella教授との共同研究によりヒルベルトスキーム上のボレルイデアルを頂点とする適当な有向グラフ（ボレルグラフとよぶことにする）に対応した扇が自然とそのヒルベルトスキームのグレブナー扇とみなせることを示した. その応用としてヒルベルトスキームの連結性の別証明を与えた. これらの研究結果はarXiv:2002.08284にて公表し, 現在論文雑誌にも投稿中である.今後の課題として, 「ボレルグラフの葉頂点はボレル順序に関する極大ボレルイデアルである」という予想に取り組みたい. これは「ボレル順序で関係をもつ二つのボレルイデアルに対応した頂点はボレルグラフ上連結である」という命題と同値であり, ボレルグラフおよびグレブナー扇の幾何学的意味を確立する上で重要となる予想である.