曲面の写像類群による高次元シンプレクティック多様体の組み合わせ的研究手法の確立

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本研究の目的は複素射影平面内のカスプつき曲面のブレイドモノドロミーと，４次元多様体上のレフシェッツペンシルのモノドロミーから定まる，６次元シンプレクティック多様体を調べるための基礎を確立することである。本年度はこれらのモノドロミーの情報と，対応する多様体の位相不変量との関係を調べる試みを行った。残念ながら成果として発表できる結果には至らなかったが，以下に記載の通り部分的な結果を得ることはできた。研究内容を説明するためにまず，モノドロミーの情報から６次元多様体を構成する方法を概説する。まず与えられたブレイドモノドロミーに対応する，複素射影平面内のカスプつき曲面をとる。次にそのカスプつき曲面を臨界値集合とする，６次元多様体から複素射影平面への写像で，値域内の射影直線の逆像への制限が与えられたモノドロミーを持つレフシェッツペンシルになるものを構成する。以上の構成はAurouxにより提案されたものであるが，Aurouxは自身の論文においてこの構成を説明し，「できる」と主張するのみでその証明は与えなかった。本研究ではモノドロミーの情報に対応する６次元多様体から複素射影平面への写像に対し，Thom多項式の理論を援用することで臨界値集合と６次元多様体の位相不変量を関連づける予定であったが，そのためにはAurouxによる構成で得られる６次元多様体上の写像を具体的に与える，つまりAurouxが「できる」と主張している議論を実際に行う必要があったので，まずこの写像の構成を試みた。その結果Aurouxの主張の一部，具体的にはブレイドモノドロミーを４次元シンプレクティック多様体の写像類群に持ち上げる操作がそのままではできないことが判明した。今年度の研究ではレフシェッツペンシルのファイバーを保つ微分同相写像とイソトピーにより定まる，４次元多様体の写像類群の変種を考えることで，この問題を解決した。