Functional analysis and stochastic analysis for coagulation-fragmentation phenomena

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研究の端緒として，凝結・分裂現象を記述するマルコフ過程モデルの中で平衡状態が同定されている一つのモデルの数学的構造を深く調べた．このモデルは，Bertoin [Combinatorics, Probability and Computing, 2008] により発見されたものであり，その平衡状態（可逆分布）は２パラメータPoisson-Dirichlet分布として知られている．Bertoinによる可逆性の証明は，各自然数nごとに，離散版モデルと言えるnの整数分割の空間上のマルコフ過程についていわゆる詳細釣合条件が成り立つことを明示的に確認することでなされた．我々は，そのような離散版や有限次元射影を介しないという意味において，より直接的にその可逆性を示すことができないか議論を重ねた．その結果，２パラメータPoisson-Dirichlet点過程の汎関数解析を通じた方法が利用可能であることが判明した．２パラメータPoisson-Dirichlet点過程とは，２パラメータPoisson-Dirichlet分布に従う無限次元単体のランダムな要素を正の実軸上の点過程として記述したものであり，その相関関数や確率母汎関数による特徴づけは研究代表者により2009年に得られていた．ここではさらに，点過程としてのPalm分布公式を確立することで進展がなされた．加えて，上述のBertoinの可逆モデルで分裂作用素を規定するのに用いられる２パラメータPoisson-Dirichlet分布の無限測度への拡張版について，拡張された確率母汎関数による特徴づけも得られ，それも援用しての結果となっている．