点配置の距離構造に着目した極値組合せ論の研究

d 次元ユークリッド空間 R^d 上の有限部分集合が k-距離集合であるとは，その相異なる二点間の距離がちょうど k 種類現れるときをいう．距離行列 D が与えられたとき，D を距離行列としてもつ点配置が R^d に実現可能かどうかは，D に付随する行列の半正定値性とランクによって判定できる．半正定値性の部分を符号数に変えることで，擬ユークリッド空間 R^{p,q} においても，距離集合の対応物を考えることができる．代表者と分担者により，擬ユークリッド空間 R^{p,q} 版の2-距離集合（2-indefinite-distance set）について次の結果を得た．（１）p, q が小さいところでの最良な点配置の分類を行った．また，いくつかの次元では最良となる，よい無限系列を構成した．この結果については現在投稿中である．（２）擬ユークリッド空間 R^{p,q} において，ハミンググラフやジョンソングラフからスイッチング操作によって得られるグラフに対する最小埋め込み次元について考察した．この結果については、現在投稿準備中である．相異なる 2 点間の距離の値が整数である点配置について，Blokuhis(1984) は素数 p を法とした距離の値がちょうど s 個となるときの頂点数の上界を得た（mod p bound）．分担者の野崎氏は Blokuhis の mod p bound を任意の代数体の整数環とその素イデアルに拡張した．この結果をまとめた論文（Bounds for sets with few distances distinct modulo a prime ideal）は Algebraic Combinatorics に掲載された．

d 次元ユークリッド空間 R^d 上の有限部分集合が k-距離集合であるとは，その相異なる二点間の距離がちょうど k 種類現れるときをいう．距離行列 D が与えられたとき，D を距離行列としてもつ点配置が R^d に実現可能かどうかは，D に付随する行列の半正定値性とランクによって判定できる．半正定値性の部分を符号数に変えることで，擬ユークリッド空間 R^{p,q} においても，距離集合の対応物を考えることができる．代表者と分担者により，擬ユークリッド空間 R^{p,q} 版の2-距離集合（2-indefinite-distance set）について次の結果を得た．（１）p, q が小さいところでの最良な点配置の分類を行った．また，いくつかの次元では最良となる，よい無限系列を構成した．この結果については現在投稿中である．（２）擬ユークリッド空間 R^{p,q} において，ハミンググラフやジョンソングラフからスイッチング操作によって得られるグラフに対する最小埋め込み次元について考察した．この結果については、現在投稿準備中である．相異なる 2 点間の距離の値が整数である点配置について，Blokuhis(1984) は素数 p を法とした距離の値がちょうど s 個となるときの頂点数の上界を得た（mod p bound）．分担者の野崎氏は Blokuhis の mod p bound を任意の代数体の整数環とその素イデアルに拡張した．この結果をまとめた論文（Bounds for sets with few distances distinct modulo a prime ideal）は Algebraic Combinatorics に掲載された．