コードの代数的組合せ論的研究

コード理論の側面から代数的組合せ論を見ていくのがこの研究の主旨であった。コードは通常有限体の上で考えられてきたが、有限環Z/Z_4の上のコードの研究にはじまり、種々の有限環あるいは有限アーベル群上のコードの研究が始まってきている。代表者の研究もこの方向にそった研究を中心におこなった。特別な有限環、例えば有限環R=F_2+uF_2(あるいはクラインの4元群)上のTypeIIコードの分類を長さが16以下の場合に完成させた。さらに、有限環R=F_2+uF_2の上のTypeIIコードの(多重)重さ枚挙多項式を用いてGauss環Z[i]上の種数2の対称Hermitianモジュラー形式の生成元を具体的に記述することにも成功した。(原田昌晃、宗政昭弘、大浦学との共同研究。さらに最近の伊吹山の参加で、研究の進展を見た。)また、宗政の助けを得て、SL(2,Z)の有限部分群でそれに対するモジュラー形式全体の作る環が多項式環と同型になるものの決定に成功した。これは(2次元の)有限複素鏡映群の分類のモジュラー形式における類似とも考えられる。さらに、この仕事の延長として、必ずしも整数ウエイトでないモジュラー形式についても研究中であり、Γ(5)のウエイト1/5のモジュラー形式について興味ある結果が得られた。(坂内ー小池ー宗政ー関口の共同研究として共著論文を準備中。)この結果はF.Kleinによる古い仕事とも関係し、Roger-Ramanujanの公式とも関連する。いずれにせよ、コード、有限群の不変式環、テーター関数、モジュラー形式の間の関連について、新しい展開を開きつつあると言える。この方向の研究は伊吹山によるさらなる進展をみる。

コード理論の側面から代数的組合せ論を見ていくのがこの研究の主旨であった。コードは通常有限体の上で考えられてきたが、有限環Z/Z_4の上のコードの研究にはじまり、種々の有限環あるいは有限アーベル群上のコードの研究が始まってきている。代表者の研究もこの方向にそった研究を中心におこなった。特別な有限環、例えば有限環R=F_2+uF_2(あるいはクラインの4元群)上のTypeIIコードの分類を長さが16以下の場合に完成させた。さらに、有限環R=F_2+uF_2の上のTypeIIコードの(多重)重さ枚挙多項式を用いてGauss環Z[i]上の種数2の対称Hermitianモジュラー形式の生成元を具体的に記述することにも成功した。(原田昌晃、宗政昭弘、大浦学との共同研究。さらに最近の伊吹山の参加で、研究の進展を見た。)また、宗政の助けを得て、SL(2,Z)の有限部分群でそれに対するモジュラー形式全体の作る環が多項式環と同型になるものの決定に成功した。これは(2次元の)有限複素鏡映群の分類のモジュラー形式における類似とも考えられる。さらに、この仕事の延長として、必ずしも整数ウエイトでないモジュラー形式についても研究中であり、Γ(5)のウエイト1/5のモジュラー形式について興味ある結果が得られた。(坂内ー小池ー宗政ー関口の共同研究として共著論文を準備中。)この結果はF.Kleinによる古い仕事とも関係し、Roger-Ramanujanの公式とも関連する。いずれにせよ、コード、有限群の不変式環、テーター関数、モジュラー形式の間の関連について、新しい展開を開きつつあると言える。この方向の研究は伊吹山によるさらなる進展をみる。