へガードフレアホモロジーを用いた低次元トポロジーの研究

今年度は、レンズ空間がL-空間ホモロジー球面内の結び目のデーン手術として構成できるための必要十分条件が、レンズ空間手術のパラメータから得られるある多項式がflatとalternateという条件を同時に満たすことであるということを証明するアウトラインを立てた。あるAlexander多項式の係数を2次元整数格子上でパラメイトライズしたときの係数の振る舞いを幾何的に議論する方法を考案した。この同値性はレンズ空間のデーン手術実現(判定)問題やdoubly primitive結び目の分類も意味する。同じレンズ空間を生む2つのトーラス結び目を全て書き出すことを山田裕一氏との共同で行った。さらにこの2つのデーン手術から作られるある閉4次元多様体は全て標準的な微分構造をもつことを示した。また、トーラス結び目と双曲結び目が生むレンズ空間に沿って貼り合わせられる閉4次元多様体の一つの例も標準微分構造を持つことを示した。ケーブル結び目に対して同様の考察をした。レンズ空間の第一ホモロジーの位数が100までにおいて、そのレンズ空間を作ることができる、ホモロジー球面をdoubly primitiveという条件のもと列挙した。それらはあるMagic多様体のDehn fillingから作られるホモロジー球面と予想することができた。また、ポアンカレホモロジー球面内にザイフェルト多様体を生むSeifert primitive結び目が存在することを示した。ある4次元多様体Xのある部分多様体をtwistすることで、Xをエキゾチックな多様体に変えることができる。その部分多様体をプラグという。プラグは4次元のエキゾチック構造を多様体の切り貼りを用いて理解する意義がある。この研究において、4次元の結び目手術の交差交換に対する無限位数プラグを発見した。

今年度は、レンズ空間がL-空間ホモロジー球面内の結び目のデーン手術として構成できるための必要十分条件が、レンズ空間手術のパラメータから得られるある多項式がflatとalternateという条件を同時に満たすことであるということを証明するアウトラインを立てた。あるAlexander多項式の係数を2次元整数格子上でパラメイトライズしたときの係数の振る舞いを幾何的に議論する方法を考案した。この同値性はレンズ空間のデーン手術実現(判定)問題やdoubly primitive結び目の分類も意味する。同じレンズ空間を生む2つのトーラス結び目を全て書き出すことを山田裕一氏との共同で行った。さらにこの2つのデーン手術から作られるある閉4次元多様体は全て標準的な微分構造をもつことを示した。また、トーラス結び目と双曲結び目が生むレンズ空間に沿って貼り合わせられる閉4次元多様体の一つの例も標準微分構造を持つことを示した。ケーブル結び目に対して同様の考察をした。レンズ空間の第一ホモロジーの位数が100までにおいて、そのレンズ空間を作ることができる、ホモロジー球面をdoubly primitiveという条件のもと列挙した。それらはあるMagic多様体のDehn fillingから作られるホモロジー球面と予想することができた。また、ポアンカレホモロジー球面内にザイフェルト多様体を生むSeifert primitive結び目が存在することを示した。ある4次元多様体Xのある部分多様体をtwistすることで、Xをエキゾチックな多様体に変えることができる。その部分多様体をプラグという。プラグは4次元のエキゾチック構造を多様体の切り貼りを用いて理解する意義がある。この研究において、4次元の結び目手術の交差交換に対する無限位数プラグを発見した。