「非適切問題における適切クラスの決定と積分方程式を利用した非適切問題の数値解析」

“确定不适当问题的适当类别以及使用积分方程对不适当问题进行数值分析”

• 批准号: 08874009
• 负责人: 磯 祐介
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 1998
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08874009/
• 关键词: 逆問題; 非適切問題; 偏微分方程式; 境界積分方程式法; 数値解析; 多倍長計算; 安定性理論; 境界要素法; 積分方程式法; 解析函数; 差分法

Helmholtz方程式で記述される逆散乱問題を中心に解析を行なった。R.Kressの手法に従えば、Helmholtz方程式で記述される音場の未知散乱物体を決定する逆問題は、境界積分方程式によって記述されることが知られている。この積分方程式にたいし、これまではTikhonov正則化法を利用する数値解析が行われてきた。これに対し、本研究ではこの非適切問題のいわゆる適切成分を考慮して、多倍長数値計算を利用して直接計算を行うことを試み、成果を得ている。一般に非適切問題は、いわゆる高周波成分に対知るSobolevノルムでの評価が不可能であることがその非適切性であり、これは数値計算上での丸め誤差に対する不安定性を意味するものである。しかし、見方を変えて与えるデータ構造を制限すれば適切化される非適切問題も多い。本研究ではこの点に目をつけ、一般には非適切な問題の適切成分を調べ、そこへの制限を伴った数値計算によって安定した数値計算を行うことを試みた。しかし、実際の数値計算では丸め誤差が伴うために理論通の計算を行うことは容易ではない。本研究ではこの部分を多倍長計算という手法にたより、理論の計算機での実現について検討を行った。理論的には適切成分と言えども多倍長計算にのみ頼って計算を行うことは不可能であるが、本研究で扱った程度の逆散乱問題ではそれなりに精度が出ることが示された。さらに、この研究を通して、順問題(通常の楕円型境界値問題など)に対する数値解析に境界要素法を利用する利点も分かった。すなわち、これまでの境界要素法研究で主張されている境界要素法の高精度性が、本研究の非適切問題の解析を通して示された。

Helmholtz equation describes inverse scattering problem. R.Kress's method is described in the Helmholtz equation. The inverse problem of determining the unknown scattered object in the sound field is described in the boundary integral equation. The integral equation is solved by Tikhonov regularization method. In this study, the appropriate components of non-relevant problems are considered, and the multiple length calculation is used to calculate the results. General irrelevant problems include the estimation of high frequency components, the estimation of impossibility, the estimation of inappropriateness, the estimation of numerical errors, and the estimation of instability. For example, if you want to change the structure, you can change it. This study is aimed at solving the problem of non-relevance, adjusting the appropriate component of the problem, and calculating the stable value of the problem The calculation of the actual number is not easy. In this paper, we discuss the multi-length calculation method and the theory of computer realization. The theory of the appropriate components of the calculation of the number of times, the calculation of the number of times, the study of the degree of inverse scattering problems, the number of times, the calculation of the number of times This paper discusses the application of boundary element method in numerical analysis of boundary value problems. The high precision of the boundary element method is advocated in this study. The analysis of the irrelevant problems in this study is also presented.

项目成果

西田 孝明: "「Heat convection of compressible fluid」" Recent Developments in Domain Decomposition Methods and Flow Problems. 107-115 (1998)

Takaaki Nishida：“可压缩流体的热对流”域分解方法和流动问题的最新进展 107-115 (1998)。

磯 祐介 他: "熱方程式の逆問題-初期逆数の台の決定" 応用数理学会論文誌. vol.8. 19-23 (1998)

Yusuke Iso 等人：“热方程的反问题 - 初始互易平台的确定”应用数学学会汇刊，第 8 卷（1998 年）。

磯 祐介: "「熱方程式の逆問題」" 応用数理学会論文誌. 8・1. 19-23 (1998)

Yusuke Iso：“‘热方程反问题’”应用数学学会学报 8・1（1998）。