多倍長数値計算環境下での逆問題・非適切問題の数値解析手法の確立

多精度数值计算环境下反问题和不适合问题数值分析方法的建立

• 批准号: 15654017
• 负责人: 磯 祐介
• 金额: $ 2.3万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-15654017/
• 关键词: 多倍長数値計算; 数値解析; 数値計算; 逆問題; 非適切問題; 第一種積分方程式; 正則化法; ill-posed; Tikhonov正則化法; 積分方程式法; 境界要素法; スペクトル法

逆問題は、医用CTなど、各種非破壊検査や断層撮影などの先端技術と関係する実用的かつ重要な問題である。この問題の多くは微分方程式や積分方程式で記述されるが、数学的には「Hadamardの意味で非適切(ill-posed)」な問題に分類されるものが殆どであり、逆問題の数値シミュレーションにおいては、その計算結果の信頼性の保証が重要課題となる。医学・工学などの応用分野では、個々の逆問題解析において、新たな解析手法が次々に提案されているが、その多くは数学的に見ればアドホックな手法と言わざるを得ない。本課題研究では、これらの手法の中から有効な普遍的的アイデアを精査し、その新しいアプローチに基づく逆問題あるいは非適切問題に対する数値解析手法を数学の視点から確立すると共に、それを多倍長数値計算環境で実現することを目標として研究が行なわれ、成果を得ている。具体的には、平成16年度には、スペクトル法、特にスペクトル選点法の高精度性と利便性に目をつけ、データ誤差を含まない第1種積分方程式の直接離散化による数値解法を提案し、その多倍長数値計算環境上での実現を図った。前年度の研究により、Tikhonov正則化法の離散化を利用した第1種積分方程式の数値計算では、観測誤差・打ち切り誤差・正則化誤差・丸め誤差のバランスの重要性がしてされていた。今年度は、この前年度の問題点への取り組みを観測誤差と正則化誤差を切り放した純粋数学的条件下で議論を行なったうことを試み、スペクトル法の活用を行なった。この結果、これらの誤差のない環境では、今年度の成果として提案する「誤差を任意に制限できる離散化手法」の有効性が数値実験によって確認され、将来の観測誤差・正則化誤差を含めた解析に対する一つの判断基準が与えられた。さらに、この数値計算において重要な役割を果たす、多倍長数値計算環境上での高精度数値積分公式も得ている。

Inverse problem は, medical CT な ど, all kinds of broken 壊 検 check や fault of shadow な ど の apex technology と masato is す る be used か つ な important question で あ る. こ の question の く は differential equations や integral equations account で さ れ る が, mathematics に は "Hadamard の mean で not appropriate (ill - posed)" な classification problem に さ れ る も の が perilous ど で あ り, inverse problem の the numerical シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に お い て は, そ の results の letter 頼 が important topic と の ensure な る. , medical engineering, な ど の 応 use eset で は, a 々 の inverse problem resolution に お い て, new た な parsing technique が times 々 に proposal さ れ て い る が, そ の more く は mathematical に see れ ば ア ド ホ ッ ク な gimmick と said わ ざ る を must な い. This topic research で は, こ れ ら の technique in の か ら have sharper な of common ア イ デ ア を check し, そ の new し い ア プ ロ ー チ に base づ く inverse problem あ る い は not appropriate problem に す seaborne る the numerical analytical technique を mathematical の viewpoints か ら establish す る と に, そ れ を more times as long as the numerical computing environment で be presently す る こ と を target と し て が line な わ れ, into If を, we get て る る. Specific に は, pp.47-53 16 year に は, ス ペ ク ト ル method, special に ス ペ ク ト ル collocation method の high-precision sexual と and then に mesh を つ け, デ ー タ error を containing ま な い 1 kind of integral equation is の direct discretization に よ る を proposal し, the numerical method そ の more times as long as the numerical computing environment on で の be presently を 図 っ た. Before the annual の research に よ り, Tikhonov regularization method の discretization を using し た 1 kind of integral equation is の the numerical calculation で は, 観 measurement error, dozen ち り cutting error, regularization error, pill め の バ ラ ン ス の importance が し て さ れ て い た. Our は, こ の first annual の problem points へ の group take り み を 観 measurement error と regularized error を り set し た pure mathematical conditions で 粋 comment line を な っ た う こ と を み, ス ペ ク ト の ル method use line を な っ た. こ の results, こ れ ら の error の な い environment で は, our の と し て proposal す る を "error any limitations に で き る discretization technique" の have sharper sex が the numerical be 験 に よ っ て confirm さ れ, future の 観 measurement error, regularization を containing め た parsing に す seaborne る a つ の judgment benchmarks が and え ら れ た. さ ら に, こ の the numerical computing に お い て important な "を cut fruit た す, many times as long as the numerical computing environment on で の degree and high precision numerical integral formula も must て い る.

项目成果

藤原 宏志, 磯 祐介: "Some Remarks on the Choice of Regularization Parameters under Multiple-Precision Arithmetic"Theoretical and Applied Mechanics Japan. 51巻. 387-393 (2002)

Hiroshi Fujiwara，Yusuke Iso：“关于多精度算法下正则化参数选择的一些评论”理论与应用力学日本，第 51 卷，387-393（2002 年）。

藤原 宏志: "Numerical Method for Integral Equation of the First Kind under Multiple-Precision Arithmetic"Theoretical and Applied Mechanics Japan. 52巻. 193-203 (2003)

Hiroshi Fujiwara：“多精度算术下第一类积分方程的数值方法”理论与应用力学日本卷 52. 193-203 (2003)

藤原 宏志, 磯 祐介: "64bit計算環境に適した多倍長数値計算環境の構築と非適切問題の数値計算"情報処理学会論文誌. 44巻3号. 925-931 (2003)

Hiroshi Fujiwara，Yusuke Iso：“适合64位计算环境的多精度数值计算环境的构建以及不适当问题的数值计算”日本信息处理学会汇刊第44卷第3.925-。 931（2003）

Direct Simulation of an integral equation of the first kind

第一类积分方程的直接模拟

• 发表时间: 2003
• 期刊: Proceedings of International Conference on Inverse Problems - Recent Developments in theories and Numerics (World Scientific)
• 作者: Shigeru Mukai;Shigeru Mukai;今井 仁司 他
• 通讯作者: 今井 仁司 他

若野 功: "二次元曲線亀裂の数学解析と数値解析"日本応用数理学会論文誌. 13巻1号. 59-80 (2003)

Isao Wakano：“二维弯曲裂纹的数学和数值分析”，日本应用数学学会汇刊，第 13 卷，第 1. 59-80 期（2003 年）。