多倍長数値計算環境下での逆問題・非適切問題の数値解析手法の確立

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逆問題は、医用CTなど、各種非破壊検査や断層撮影などの先端技術と関係する実用的かつ重要な問題である。この問題の多くは微分方程式や積分方程式で記述されるが、数学的には「Hadamardの意味で非適切(ill-posed)」な問題に分類されるものが殆どであり、逆問題の数値シミュレーションにおいては、その計算結果の信頼性の保証が重要課題となる。医学・工学などの応用分野では、個々の逆問題解析において、新たな解析手法が次々に提案されているが、その多くは数学的に見ればアドホックな手法と言わざるを得ない。本課題研究では、これらの手法の中から有効な普遍的的アイデアを精査し、その新しいアプローチに基づく逆問題あるいは非適切問題に対する数値解析手法を数学の視点から確立すると共に、それを多倍長数値計算環境で実現することを目標として研究が行なわれ、成果を得ている。具体的には、平成16年度には、スペクトル法、特にスペクトル選点法の高精度性と利便性に目をつけ、データ誤差を含まない第1種積分方程式の直接離散化による数値解法を提案し、その多倍長数値計算環境上での実現を図った。前年度の研究により、Tikhonov正則化法の離散化を利用した第1種積分方程式の数値計算では、観測誤差・打ち切り誤差・正則化誤差・丸め誤差のバランスの重要性がしてされていた。今年度は、この前年度の問題点への取り組みを観測誤差と正則化誤差を切り放した純粋数学的条件下で議論を行なったうことを試み、スペクトル法の活用を行なった。この結果、これらの誤差のない環境では、今年度の成果として提案する「誤差を任意に制限できる離散化手法」の有効性が数値実験によって確認され、将来の観測誤差・正則化誤差を含めた解析に対する一つの判断基準が与えられた。さらに、この数値計算において重要な役割を果たす、多倍長数値計算環境上での高精度数値積分公式も得ている。