Ｍｏｍｅｎｔ－ａｎｇｌｅ　複体のトポロジーと凸多面体の組合せ論

本研究は，トーリックトポロジーと呼ばれる分野の研究である．トーリックトポロジーは，代数幾何と組合せ論を繋ぐ架け橋であるトーリック幾何のトポロジー版と呼ばれる分野である．その中で，２０１１年に Cannas da Silva-Guillemin-Pires たちはトーリック折り紙多様体という概念を導入し，それらが，ある条件を満たす有限個の凸多面体の集合（折り紙テンプレート）で分類できることを示した．これはシンプレクティックトーリック多様体に対する有名なDelzantの定理の一般化である．Ayzenberg，Park, Zengと枡田は，トーリック折り紙多様体Mの軌道空間の（軌道空間自身以外の）面がすべて非輪状という仮定の下で，Mのベッチ数を軌道空間の面の数で記述することに成功し，Mのコホモロジー環の構造をほぼ決定した．その際，組合せ論または可換環論で研究されているBuchsbaum複体との関連を見出した．また，トーリック折り紙多様体の族がどれほど広いものであるかという基本的な問題に取り組んだ．4次元では，単連結なトーリック折り紙多様体の族は擬トーリック多様体と呼ばれる族と一致するが，本研究において，６次元以上では，単連結なトーリック折り紙多様体にならない擬トーリック多様体が（沢山）存在することを示した．一方， Ayzenberg氏は， この研究で考案した方法を独自に進め，幾つか単著論文を書いた．特に，Buchsbaum複体に関して知られている幾つかの基本的事実を，可換環論の手法を用いずトポロジーの手法を用いて示した．かなり先端の道具を用いるが，幾何学的な証明を与えたのは注目に値する．滞在後半を過ぎてから，服部―枡田が導入した多重多面体について，枡田と共同研究を行った．多重多面体は凸多面体を拡張した概念で，多重扇と超平面配置の対として定義され，凸多面体の体積に相当する体積関数が定義できる．この体積関数についてミンコフスキーの定理との関連などを詳しく調べた．

本研究は，トーリックトポロジーと呼ばれる分野の研究である．トーリックトポロジーは，代数幾何と組合せ論を繋ぐ架け橋であるトーリック幾何のトポロジー版と呼ばれる分野である．その中で，２０１１年に Cannas da Silva-Guillemin-Pires たちはトーリック折り紙多様体という概念を導入し，それらが，ある条件を満たす有限個の凸多面体の集合（折り紙テンプレート）で分類できることを示した．これはシンプレクティックトーリック多様体に対する有名なDelzantの定理の一般化である．Ayzenberg，Park, Zengと枡田は，トーリック折り紙多様体Mの軌道空間の（軌道空間自身以外の）面がすべて非輪状という仮定の下で，Mのベッチ数を軌道空間の面の数で記述することに成功し，Mのコホモロジー環の構造をほぼ決定した．その際，組合せ論または可換環論で研究されているBuchsbaum複体との関連を見出した．また，トーリック折り紙多様体の族がどれほど広いものであるかという基本的な問題に取り組んだ．4次元では，単連結なトーリック折り紙多様体の族は擬トーリック多様体と呼ばれる族と一致するが，本研究において，６次元以上では，単連結なトーリック折り紙多様体にならない擬トーリック多様体が（沢山）存在することを示した．一方， Ayzenberg氏は， この研究で考案した方法を独自に進め，幾つか単著論文を書いた．特に，Buchsbaum複体に関して知られている幾つかの基本的事実を，可換環論の手法を用いずトポロジーの手法を用いて示した．かなり先端の道具を用いるが，幾何学的な証明を与えたのは注目に値する．滞在後半を過ぎてから，服部―枡田が導入した多重多面体について，枡田と共同研究を行った．多重多面体は凸多面体を拡張した概念で，多重扇と超平面配置の対として定義され，凸多面体の体積に相当する体積関数が定義できる．この体積関数についてミンコフスキーの定理との関連などを詳しく調べた．