変換群の幾何学

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表現空間上の代数的Gベクトル束のモジュライ空間を主に研究した。これは数年前よりPetrie,Moser両氏と始めた共同研究である。特にPetrie氏との共同研究において、代数的Gベクトル束の不変量を定義し、モジュライ空間の大きさを下から評価した。その論文はJ.Amer.Math.Soc.から出版されることになった。いくつかの例で見ると、この不変量はモジュライ空間を完全に記述している。従って一般に、我々の不変量がモジュライ空間を決定するのではないかという期待があるが未解決である。しかし、我々の不変量は代数的Gベクトル束のある種の安定類を決定することは解る。従ってGベクトル束の安定類と非安定類との差を調べることがこれからの研究課題であろう。一方、群Gが可換のとき、モジュライ空間は自明となる。この結果をまとめた論文を現在投稿中である。この結果はQuillen-SuslinによるSerre予想の解決の一般化であり、またGが可換か非可換かによってモジュライ空間の様子が全く異なることを示したもので、興味ある結果ではないかと思う。この事実は、Gベクトル束の底空間が表現空間よりもっと一般的にアフィントーリック多様体に対して成立する。アフィントーリック多様体は、C^*トーラスが稠密な軌道を持つように作用するアフィン多様体であるから、底空間を表現空間に限らずアフィントーリック多様体にまで広げて考えると、Gが可換の場合、表現空間上のGベクトル束のモジュライ空間が自明となるという上記の結果は納得がいく。今のところ、それ以上の意味は分からないが、これはもっと深い事実の一端のように思われる。