変換群の幾何学

点击翻译按钮获取中文摘要

研究目的は次の3つであった。(1)同変Serre問題(2)同変inertia群(3) Symplecticトポロジー(1)(2)は、ここ数年来主にPetrie, Moser, Schultz氏らと進めて来た共同研究で、本年度はこれを推し進め、ほぼ満足できる結果に到達した。その結果は2、3の論文として出版される予定である。(3)に関しては、予想通り同変コホモロジーがsymplecticトポロジーの研究に非常に相性が良いことが判明した。トーリック多様体はトーラス作用を持つsymplectic多様体の例を多く供給し、凸体を通して両者は密接に結びついている。我々は、同変コホモロジーを用いる代数的トポロジーの立場から、トーリック多様体と凸体またはfanの関係を見直した。その結果、トーリック多様体とfanの対応を、ユニタリトーリック多様体とmulti-fanの対応にまで広げることができ、ユニタリトーリック多様体という位相幾何学の対象が、multi-fanという組み合わせ論の対象の言葉で記述できることが判明した。トーリック多様体の理論の様に、上の対応が1対1と言うわけではない。また、どの様なmulti-fanが実現されるかという問題も(低次元を除いて)未解決である。今後は、これらの基本的問題に取り組む予定である。また、トーリック理論を通して、代数幾何の知見が凸体の組み合わせ論の知見をもたらした様に、ユニタリトーリック多様体に対する位相幾何の知見が凸体とは限らない図形に対する組み合わせ論の知見をもたらすことを期待している。