"Unités, groupes de classes et équations diophantiennes"

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Un corps de nombres K est une collection d'éléments qui sont des racines de polynômes à coefficients entiers. Par exemple, on peut prendre pour K l'ensemble Q des nombres rationnels. À l'intérieur de K, il y a l'ensemble des entiers algébriques Z_K qui joue le même rôle que l'ensemble Z des entiers usuels contenus dans l'ensemble Q des nombres rationnels. À l'intérieur de Z_K, il y a l'ensemble E_K des éléments inversibles de Z_K, qui joue le même rôle que l'ensemble {1,-1} à l'intérieur de Z. De plus, il existe, à l'intérieur de Z_K, des ensembles J, appelés idéaux de Z_K, qui sont tels que la différence de deux éléments de J est dans J, et le produit d'un élément de J par un élément de Z_K est encore un élément de J. De plus, un idéal J de Z_K est dit principal si J est formé des multiples d'un élément fixe de Z_K. Les idéaux principaux de Z_K jouent le même rôle que les ensembles formés des multiples d'un entier m de Z. La collection des idéaux (fractionnaires) de K modulo les idéaux principaux forme un groupe Cl(K), appelé le groupe de classes de K. Mon but est d'obtenir de nouvelles familles de corps K pour lesquels je peux calculer E_K et donner de l'information sur Cl(K) et, en particulier, sur la cardinalité de Cl(K). Les corps qui m'intéressent sont des espaces vectoriels sur Q de dimension n \in {2,3,4,...,24}. Les unités de familles paramétrées de corps sont utiles pour les cryptosystèmes de Buchmann.