"Unités, groupes de classes et équations diophantiennes"

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Un corps de nombres K est une collection d'éléments qui sont des racines de polynômes à coefficients entiers. Par exemple, on peut prendre pour K l'ensemble Q des nombres rationnels. À l'intérieur de K, il y a l'ensemble des entiers algébriques Z_K qui joue le même rôle que l'ensemble Z des entiers usuels contenus dans l'ensemble Q des nombres rationnels. À l'intérieur de Z_K, il y a l'ensemble E_K des éléments inversibles de Z_K, qui joue le même rôle que l'ensemble {1,-1} à l'intérieur de Z. De plus, il existe, à l'intérieur de Z_K, des ensembles J, appelés idéaux de Z_K, qui sont tels que la différence de deux éléments de J est dans J, et le produit d'un élément de J par un élément de Z_K est encore un élément de J. De plus, un idéal J de Z_K est dit principal si J est formé des multiples d'un élément fixe de Z_K. Les idéaux principaux de Z_K jouent le même rôle que les ensembles formés des multiples d'un entier m de Z. La collection des idéaux (fractionnaires) de K modulo les idéaux principaux forme un groupe Cl(K), appelé le groupe de classes de K. Mon but est d'obtenir de nouvelles familles de corps K pour lesquels je peux calculer E_K et donner de l'information sur Cl(K) et, en particulier, sur la cardinalité de Cl(K). Les corps qui m'intéressent sont des espaces vectoriels sur Q de dimension n \in {2,3,4,...,24}. Les unités de familles paramétrées de corps sont utiles pour les cryptosystèmes de Buchmann. Les équations diophantiennes sont des polynômes à coefficients dans Z qui font intervenir des inconnues. Le but est de trouver tous les nombres entiers qui en sont des solutions. La plus célèbre de ces équations est celle du dernier théorème de Fermat: X^n+Y^n=Z^n. A. Wiles a prouvé que pour n plus grand ou égal à 3, toutes les solutions entières vérifient XYZ=0. Nous étudierons d'autres équations dont les solutions sont ou bien des entiers ou bien des S-entiers. Les S-entiers sont des nombres rationnels a/b où l'entier b ne fait intervenir que les premiers d'un ensemble donné S fixe de nombres premiers. Les unités et le groupe de classes interviennent dans l'étude des équations diophantiennes.