Commande optimale stochastique avec applications en épidémiologie et en fiabilité

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On s'intéresse à des problèmes de commande optimale stochastique appelés LQG homing. Il s'agit de commander des processus stochastiques jusqu'à ce qu'un certain événement se produise. Ainsi, le temps final dans le problème est une variable aléatoire. Les processus peuvent aussi avoir des sauts aléatoires et leurs paramètres peuvent être aléatoires. Pour résoudre un problème de ce type, on peut d'abord faire appel à la programmation dynamique. Il s'agit alors de résoudre une équation aux dérivées partielles. Une technique très utile pour résoudre ces équations est la méthode des similitudes, laquelle utilise la symétrie présente dans le problème pour le simplifier. Il existe des applications des problèmes de type LQG homing dans plusieurs domaines. Dans cette proposition, on s'intéresse à deux applications importantes de ces problèmes : la première est en épidémiologie. L'objectif fondamental de cette partie du projet de recherche est d'apporter une contribution importante à la lutte contre les maladies infectieuses, ce qui est de première importance dans le contexte actuel et a le potentiel d'avoir un impact considérable sur toute la population. Un modèle de base dans ce domaine est connu sous le nom de modèle SIR (pour Susceptible, Infected, Removed ou Recovered). Les modèles de ce type ont été utilisés avec succès pour représenter la propagation de virus. Le modèle de base peut être généralisé de plusieurs façons. Une fois le modèle justifié pour une application donnée, un objectif important est celui de commander le processus de façon optimale, ce qui est un problème peu considéré jusqu'à maintenant. On peut par exemple chercher à faire en sorte que l'épidémie se termine le plus rapidement possible. Le problème peut également être formulé sous la forme d'un jeu différentiel dynamique. Cette formulation peut être utilisée, par exemple, dans le cas d'un pirate informatique qui désire infecter les ordinateurs d'une certaine entreprise, ou encore dans le cas d'une guerre bactériologique entre deux pays. La deuxième application considérée est celle de la commande optimale d'une éolienne. La première étape consiste à modéliser l'usure de l'éolienne, ce qui sera fait à l'aide de processus stochastiques définis de façon que l'usure augmente strictement avec le temps écoulé, ce qui est le cas en réalité. Pour encore plus de réalisme, comme ci-dessus, le modèle pourra inclure des sauts et les paramètres pourront être aléatoires. Une variable importante qui influence l'usure de l'éolienne est sa vitesse de rotation, laquelle dépend de la vitesse du vent. Après avoir déterminé le modèle proposé, on cherche ensuite à optimiser l'utilisation des éoliennes. Celles-ci peuvent être contrôlées en ajustant l'angle des pales. L'objectif peut être de maximiser la durée de vie utile de l'éolienne, ou encore la production d'électricité. Les entreprises qui produisent de l'électricité, et la population en général, seront les bénéficiaires des résultats obtenus.