Asymptotik Stochastischer Modelle und Spektraler Verteilungen

Verteilung von Funktionalen（wie z.B. Spektren）komplexer Systeme in einem zufällig fixierten Medium wie beispielsweise interagiomTeilchenprozesse in der Stochastik oder dynamische Systeme（in einer 'generisch' oder zufällig gewählten Geometrie）konvergieren mit wachsender Zahl der Einflußgrößen bzw.当相量达到普遍的Grenzverteilungen时，介质的特殊壁是不受欢迎的。也可以通过不合理的行为来解决韦尔登。Diophantisch gewählten Koeffizienten von Polynomen erzeugt，deren Werte auf greßen Gitterbereichen dann asymptotisch lokal gleichmäßig vertebriilt sind.这种渐近性是分析Zahlentheorie的基本原理，用于Wahrscheinlichkeitstheorie的经典Grenzwertsätzen中的近似，也用于特殊动力学系统中的渐近Spektralvertelungen。Langfristiges Ziel is es，这种Beziehungen是Wahrscheinlichkeitstheorie随机过程、特殊动力学分析系统和分析Zahlentheorie的普遍Grenzwertsätzen。本文通过一种方法，将量子力学的理论转化为量子力学的分析理论，并将随机变量、量子力学的动力系统和量子力学的分析理论结合起来，对量子力学的基本原理进行了深入的研究。 Die in den letzten Jahren erfolgreich eingesetzten Methoden zur optimalen Veteilungsapproximation quadratischer Formen sollen mit Helfe von Abschätzungen von Thetasummen durch Größen aus der Geometrie der Zahlen auf quadratischen Formen ab Dimension fünf ausgedehnt韦尔登.因此，达文波特和刘易斯在确定的肯定的秋天vermutete局部Gleichverteilung Werte在Unendlichen zu zeigen，sowie effektive Schranken für die局部Gleichverteilung im indefiniten Fall（定量Oppenheim-Vermutung）zu gewinnen。在此基础上，我们也可以用最优的椭圆形近似方法来求解正中心椭球面的几何形状，用最佳的分析方法来分析正中心椭球面的几何形状问题。为使拉普拉斯算子的特殊性得到进一步的研究，特殊性模型的特殊性也可以用z. b来表示，即韦尔登算子。在Wigner-Enhancing矩阵中对全局和局部谱渐近参数的求解，给出了求解Werte二次型模1在Gittern上的近似解的韦尔登分析方法，并给出了求解准线性二次型模1的近似解的方法。geodätische Flüsse auf Überlagungen der zugehörigen homogenen Räeingesetzt werden. Der Einfluenza zufäliger Umgebungen auf Grenzverteilungen wird本文以随机模型为例，介绍了组合极值统计中的流场分布，以及Hopefield网络中的自由能、SK模型和滤波器问题，并对它们进行了初步的研究。

Verteilung von Funktionalen (wie z.B. Spektren) komplexer Systeme in einem zufällig fixierten Medium wie beispielsweise interagiende Teilchenprozesse in der Stochastik oder dynamische Systeme (in einer 'generisch' oder zufällig gewählten Geometrie) konvergieren mit wachsender Zahl der Einflußgrößen bzw. wachsendem Phasenraumvolumen gegen universelle Grenzverteilungen, die von der speziellen Wahl des zufälligen Mediums unabhängig sind. Solche 'zufälligen' Umgebungen werden zum Beispiel auch durch Wahl von irrationalen bzw. diophantisch gewählten Koeffizienten von Polynomen erzeugt, deren Werte auf großen Gitterbereichen dann asymptotisch lokal gleichmäßig verteilt sind. Diese Asymptotik ist aus der analytischen Zahlentheorie fundamental für die Approximation in klassischen Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie, aber auch für asymptotische Spektralverteilungen in speziellen dynamischen Systemen.Langfristiges Ziel ist es, diese Beziehungen zwischen universalen Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie stochastischer Prozesse, der spektralen Analysis dynamischer Systeme und der analytischen Zahlentheorie für wichtige Modelle 'zufälliger' Medien zu untersuchen. An diesen Schnittstellen unterschiedlicher Gebiete ermutigen die bisherigen Erfolge mit einem Methodentransfer von der Wahrscheinlichkeitstheorie zur analytischen Zahlentheorie dazu, die Verbindungen zwischen Stochastik, der Spektraltheorie dynamischer Systeme und der analytischen Zahlentheorie auszubauen. Die in den letzten Jahren erfolgreich eingesetzten Methoden zur optimalen Veteilungsapproximation quadratischer Formen sollen mit Hilfe von Abschätzungen von Thetasummen durch Größen aus der Geometrie der Zahlen auf quadratischen Formen ab Dimension fünf ausgedehnt werden. Ziel ist es, die von Davenport und Lewis im positiv definiten Fall vermutete lokale Gleichverteilung der Werte im Unendlichen zu zeigen, sowie effektive Schranken für die lokale Gleichverteilung im indefiniten Fall (quantitative Oppenheim-Vermutung) zu gewinnen. Aufbauend darauf wird man auch optimale Konvergenzraten im zentralen Grenzwertsatz für Ellipsoide in diesen Dimensionen zeigen können.Für die Approximation der Gitterpunktanzahlen von Orbiten von affinen kristallografischen Gruppen in Kugeln von euklidischen und nichteuklidischen Räumen besteht die Hoffnung, vergleichbare analytische Methoden für die Analyse von Anfangswertproblemen der Wellengleichung bzw. für die Spektralverteilung des Laplace Operators entwickeln zu können.Die hier eingesetzten Techniken sollen auch für andere spektrale Modelle weiterentwickelt werden wie z.b. für die Bestimmung der Konvergenzgeschwindigkeit in globalen und der Konvergenz in lokalen Spektral-Asymptotiken im Wigner-Ensemble zufälliger Matrizen.Neben diesen analytischen Methoden werden zur Untersuchung der Gleichverteilung der Werte quadratischer Formen mod 1 auf Gittern in Abhängigkeit von den Koeffizienten auch Ergodensätze für quasi-geodätische Flüsse auf Überlagungen der zugehörigen homogenen Räume eingesetzt werden.Der Einfluß zufälliger Umgebungen auf Grenzverteilungen wird ferner in exemplarischen stochastischen Modellen, wie dem Fluktuationsverhalten von kombinatorischen Extremalstatistiken, sowie der freien Energie von Hopefield Netzwerken, SK-Modellen und Filterproblemen im Zusammenhang mit interagierenden Teilchenprozessen, das Hauptforschungsziel sein.