Mathematical Sciences: Nonlinear Evolutions and the Calculusof Variations

数学科学:非线性演化和变分演算

基本信息

  • 批准号:
    9322617
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 5万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    1994
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    1994-07-01 至 1997-06-30
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

93222617 Sternberg This award supports mathematical research on a range of problems involving nonlinear partial differential equations and the calculus of variations. The basis for much of the work is typically an energy arising from a model in continuum mechanics. Physical contexts include superconductivity and phase transitions. In all cases, the structure of minimizers of the energy is an issue of primary interest. Beyond this, work will be done on gradient flows associated with the energy. The flows are modeled by parabolic partial differential equations or systems whose solution tend to decrease the energy. A primary goal is to characterize the large-time behavior of these systems as they strive to achieve an equilibrium state. In all cases, certain geometric structures tend to characterize steady-state solutions such as minimal surfaces or vortices and one seeks to understand how such structures propagatein time during the late stages of the evolution. Partial differential equations form a basis for mathematical modeling of the physical world. The role of mathematical analysis is not so much to create the equations as it is to provide qualitative and quantitative information about the solutions. This may include answers to questions about uniqueness, smoothness and growth. In addition, analysis often develops methods for approximation of solutions and estimates on the accuracy of these approximations. Many equations arise by invoking physical principles, phrased in terms of minimizing certain quantities, such as energy. The resulting mathematical expression is a variational problems whose solution is expressed by a partial differential equation. ***
该奖项支持对一系列涉及非线性偏微分方程和变分法问题的数学研究。大部分工作的基础通常是连续介质力学模型中产生的能量。物理背景包括超导性和相变。在所有情况下,能量最小值的结构都是一个重要的问题。除此之外,还将对与能量相关的梯度流做功。这种流动是用抛物型偏微分方程或方程组来模拟的,其解趋向于降低能量。主要目标是描述这些系统在努力达到平衡状态时的大时间行为。在所有情况下,某些几何结构倾向于表征稳态解,例如最小表面或漩涡,并且人们试图理解这些结构在演化的后期阶段如何随时间传播。偏微分方程是物理世界数学建模的基础。数学分析的作用与其说是创建方程,不如说是提供关于解的定性和定量信息。这可能包括回答关于独特性、平滑性和增长性的问题。此外,分析常常发展出解的近似方法和对这些近似精度的估计。许多方程是通过引用物理原理而产生的,用最小化某些量(如能量)来表述。由此得到的数学表达式是一个变分问题,其解用偏微分方程表示。***

项目成果

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