Rigidity in von Neumann Algebras; Connections and Applications to Orbit Equivalence and Geometric Group Theory

冯·诺依曼代数中的刚性;

基本信息

  • 批准号:
    1301370
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 13.8万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Continuing Grant
  • 财政年份:
    2013
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2013-07-01 至 2017-06-30
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

Within the general context of Popa's deformation/rigidity theory and building on principal investigator's prior research results, the goal of this project is to find new rigidity results for von Neumann algebras associated with group actions on probability spaces. The project revolves around the following main problems: (1) find new examples of actions of more "exotic" groups on probability spaces that can be completely reconstructed from their von Neumann algebras; (2) find additional examples of group actions that lead to von Neumann algebras with unique Cartan subalgebras; (3) obtain new applications to ergodic theory (particularly orbit equivalence and structural properties for equivalence relations) and probability theory (percolation on graphs); and (4) deepen the connections with geometric group theory and representation theory. The principal investigator plans to achieve these goals by further refining his previous techniques and continuing to expand the cohomological and geometric group theory perspective that he and his coauthors have brought to the study of rigidity in von Neumann algebras. He expects these techniques to reveal new aspects of the theory that will enable an even more fruitful interplay between these fields.The study of von Neumann algebras was initiated in the 1930s by Murray and von Neumann as a tool to study quantum mechanics, and it has progressively morphed into a stand-alone discipline. It also created a basis for the development of powerful mathematical theories that ultimately brought valuable insight to areas of physics (statistical mechanics), biology (DNA structure), and engineering (cell-phone design). This project, which continues the study of rigidity phenomena in von Neumann algebras, is expected to generate novel applications and to establish new bridges to other active research areas in mathematics (probability, ergodic theory, and geometric aspects in group theory). On a broader scale, the principal investigator anticipates that applications of rigidity phenomena outside the mathematical spectrum will continue to unveil themselves, particularly in engineering and computer science (e.g., error-correcting codes). The project will offer numerous development opportunities for graduate students or young researchers just entering this very active research field. While the topic of the project is focused heavily on advanced trends, it also contains substantial research directions and open problems that can be excellent subjects for Ph.D. theses. The principal investigator is currently teaching a two-semester introductory course on this subject with the purpose of attracting new young talent to the area. He will continue to disseminate his findings from the project through publications, lecture series, and seminar and colloquium talks, and to promote the connections with related areas of mathematics and beyond.
在波帕的变形/刚性理论的一般背景下,并建立在首席研究员的先前研究成果,该项目的目标是找到新的刚性结果冯诺依曼代数与概率空间上的群作用。该项目围绕以下主要问题:(1)找到更多的“奇异”群在概率空间上的作用的新例子,这些空间可以完全从它们的冯诺依曼代数重建;(2)找到导致冯诺依曼代数具有唯一Cartan子代数的群作用的额外例子;(3)获得遍历理论的新应用(特别是轨道等价和等价关系的结构性质)和概率论(图上的渗流);(4)加深与几何群论和表示论的联系。首席研究员计划通过进一步完善他以前的技术来实现这些目标,并继续扩展他和他的合著者为研究冯诺依曼代数的刚性带来的上同调和几何群论视角。冯·诺依曼代数的研究始于20世纪30年代,由默里和冯·诺依曼作为研究量子力学的工具,并逐渐演变成一门独立的学科。它还为强大的数学理论的发展奠定了基础,这些理论最终为物理学(统计力学)、生物学(DNA结构)和工程学(手机设计)领域带来了有价值的见解。这个项目,它继续在冯诺依曼代数的刚性现象的研究,预计将产生新的应用,并建立新的桥梁,其他活跃的研究领域在数学(概率,遍历理论和几何方面的群论)。在更广泛的范围内,首席研究员预计,数学光谱之外的刚性现象的应用将继续揭示自己,特别是在工程和计算机科学(例如,纠错码)。该项目将为刚刚进入这一非常活跃的研究领域的研究生或年轻研究人员提供许多发展机会。虽然该项目的主题主要集中在先进的趋势,但它也包含大量的研究方向和开放的问题,可以成为博士的优秀课题。论文首席调查员目前正在讲授关于这一主题的两个学期的入门课程,目的是吸引新的青年人才进入这一领域。他将继续通过出版物、系列讲座、研讨会和学术讨论会传播他在该项目中的发现,并促进与数学及其他相关领域的联系。

项目成果

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