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Algorithmen zur Realisierung von Polytopen in 3D

3D 多面体实现算法

基本信息

批准号：
219074381
负责人：
Professor Dr. André Schulz
金额：
--
依托单位：
Lehrgebiet Theoretische Informatik
依托单位国家：
德国
项目类别：
Research Grants
财政年份：
2012
资助国家：
德国
起止时间：
2011-12-31 至 2013-12-31
项目状态：
已结题

来源：
https://gepris.dfg.de/gepris/projekt/219074381?language=en
关键词：
Algorithmen zur Realisierung von Polytopen

项目摘要

Konvexe Polytope (im Folgenden beziehen sich alle Aussagen über Polytope auf konvexe Polytope) sind elementare geometrische Objekte. Sie definieren grundlegende Konzepte auf dem Gebiet der Kombinatorischen und Linearen Optimierung (als Schnitt von Halbräumen) oder der Konvexen Geometrie (als konvexe Hüllen endlicher Punktmengen). Aus diesem Grunde ist es wichtig, die kombinatorische Struktur von Polytopen (die Beziehung ihrer Knoten, Kanten, und Facetten zueinander) zu verstehen. Für Polytope in drei Dimensionen können alle kombinatorischen Beschreibungen, die geometrisch als 3D Polytop realisierbar sind, nach dem Satz von Steinitz durch ein einfaches Kriterium charakterisiert werden. Daraus entwickelte sich die Frage, wie man diese Realisierungen algorithmisch erzeugen kann, so dass die Realisierung nicht nur effizient zu berechnen ist, sondern auch kompakt darstellbar. Hierbei ist vor allen Dingen interessant, ob es ausreicht, logarithmisch viele Bits pro Knoten (in Abhängigkeit zur Knotenanzahl) zu verwenden. Im Projekt soll untersucht werden, für welche Klasse von 3D Polytopen dies garantiert werden kann. Neben der Größe der Koordinatendarstellung sind auch andere Vorgaben bei der Realisierung von Interesse. So kann für jedes 3D Polytop die Geometrie einer Fläche frei gewählt werden (Satz von Barnette und Grünbaum) oder jede Symmetrie der kombinatorischen Beschreibung durch die geometrische Einbettung realisiert werden (Satz von Mani). Zu beiden Aussagen sollen innerhalb des Projektes Algorithmen entwickelt werden. Anhand dieser Algorithmen kann man gegebenenfalls neue Eigenschaften charakterisieren, die durch die Realisierung zusätzlich garantiert werden können. Polytope in 4D, haben viele unerwünschte Eigenschaften. So ist es sehr unwahrscheinlich, dass für das Entscheidungsproblem, ob eine kombinatorische Beschreibung als 4D Polytop realisierbar ist, ein effizienter Algorithmus existiert. Zur Generalisierung der Ergebnisse für 3D Polytope soll deshalb die Verallgemeinerung ihrer kombinatorischen Struktur gesucht werden. In vielerlei Hinsicht bilden die schleifenfrei einbettbaren Graphen eine solche natürliche Erweiterung. Zur schleifenfreien Realisierung dieser Graphen sind bislang sehr wenige Ergebnisse bekannt. Innerhalb des Projektes sollen deshalb neue Algorithmen zur Realisierung dieser Graphen in 3D untersucht werden.

Konvexe Polytope（im Folgenden beziehen sich alle Aussagen über Polytope auf Konvexe Polytope）sind elementare geometrische Objekte.在组合和线性优化的基础上定义基本的Konzepte（als Schnitt von Halbräumen）或Konvexen Geometrie（als convexe Hüllen endlicher Punktmengen）。从这个基础上看，Polytopen的综合结构（由Knoten、Kanten和Facetten zueinander组成）是非常重要的。对于Polytope in drei extensionen können alle kombinatorischen Beschreibungen，die geometrisch als 3D Polytop realisierbar sind，nach dem Satz von Steinitz durch ein einfaches Kriterium charakterisiert韦尔登.因为我们开始使用Frage，就像人们可以使用Realisierungen算法一样，所以Realisierung不仅有效，而且还可以完成。这是所有有趣的东西，因为它是正确的，所以你可以用很多比特来处理结（在Abhängigkeit zur Knotenanzahl）。Im Projekt soll untersucht韦尔登，für welche Klasse von 3D Polytopen dies guarantiert韦尔登kann.在利益的实现过程中，协调的增长也是沃尔加本。因此，可以使用3D Polytop来表示一个自由韦尔登（Satz von Barnette und Grünbaum）或通过实现韦尔登（Satz von Mani）来表示组合式约束的对称性。因此，我们必须确保项目的内部协调，以便韦尔登。因此，这些人可以获得新的特征，他们通过实现韦尔登的目标。在4D中的多面体，有许多特征。因此，它是sehr unwahrscheinlich，dass für das Entscheidungsproblem，ob eine kombinatorische Beschreibung als 4D Polytop realisierbar ist ist，ein effizienter plummus quertiert。Zur Generalisierung der Ergebnisse für 3D Polytope soll deshalb die Verallgemeinerung ihrer kombinatorischen Struktur gesucht韦尔登.在众多的Hinsicht bilden die schleifenfrei einbettbaren Graphen eine solche natürliche Erweiterung.要实现石墨烯的自由流动，必须要有一个良好的环境。在项目内部，我们需要开发新的三维图形实现韦尔登。