Iteration und die Fixpunktfunktion

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Betrachtet wird eine analytische Funktion φ: D → D = { z Є C : z < 1}. Bei der Untersuchung der Iterierten φn = φ ○ ... ○ φ spielt der anziehende Fixpunkt ζ Є D eine wesentliche Rolle. Für den Fall das ζ Є D und φ`( ζ ) = 1 ist und dass die hyperbolischen Abstände von φn und φn+1 gegen Null streben, gibt es noch viele offene Probleme. Insbesondere soll das Problem der Konvergenz von φn (z) für z Є D untersucht werden. Die Fixpunktfunktion z = f (w) ist die Inverse von w = z/ φ(z). Es soll u.a. untersucht werden ob f(D) ein hyperbolisch-konvexes System ist. Ein interessanter Speziallfall ist, wenn φ die erzeugende Funktion einer Zufallvariablen mit Werten 0,1, ... . Dieser Fall soll weiter untersucht werden, u.a. auch ein Ruinproblem aus der Finanzmathematik.