Study on local functional equations form representation theory and geometry

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局所関数等式を満たす多項式のペアを見つけることは整数論、表現論双方の分野で重要である。正則概均質ベクトル空間の非退化な相対不変多項式とその双対の概均質ベクトル空間の、同じ有理指標に対応する相対不変多項式のペアは局所関数等式を満たすことが佐藤幹夫氏、多変数の場合は佐藤文広氏により見つけられている。そのため, 今までの研究で,まだ明示的に概均質ベクトル空間の相対不変の形が分かっていないものについて,その明示的な構成を行うなどの研究を続けて来た. 具体的には,佐藤幹夫氏と木村達雄氏によって既約正則概均質ベクトル空間が分類され, その相対不変式が一部を除いて構成されていたが, その残りのうち40次元のカスピダル型のholonomy図形が最も複雑な空間の相対不変を明示的に写像の合成によって構成した.一方、2008年に佐藤文広氏と報告者(小木曽)の共同研究で、Clifford代数の表現から構成した4次形式Clifford Quartic formsは非概均質的多項式であるにも関わらず局所関数等式を満たすことが示されていて、Clifford Quartic formに付随する空間も分類されている.上記のことから局所関数等式を満たす多項式を概均質,非概均質を含む形で特徴付ける必要があり,それに向けての研究を多角形の双曲幾何, クラスター代数と関係する三角形分割についてそれをグラフと見た場合の3次多項式の研究を当初していたが, 途中から研究に中島秀斗氏が加わり, 中島秀斗氏のアイデアで, 多角形の三角形分割をさらに一般化した「三角形配置」に付随する3次多項式の概均質性の研究をおこない, 研究成果を論文arXiv:2210.10467にまとめた.