傾変異による基本的概均質ベクトル空間の新しい分類

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概均質ベクトル空間を特徴づける格子の数え上げに関連した統一スターリングの計算を，研究分担者の神吉氏を中心に2020年度より進めていた．その過程で，統一スターリングを負の引数を持つように拡張する必要に迫られていた．これはRoman階乗（通常の階乗の一般化）を用いることで，既知のrecursive matrices（extended Riordan arrays）のcomplementary arrayの理論を，負の引数を持つ指数型Riordan arraysにも拡張することによって解決した．このことにより，Hsu--Shiueによるパラメータ付き統一スターリング数の基礎理論がほぼ完成した．とくに，異なるパラメータを持つ統一スターリング数の間の相互法則や双対性が成り立つ根拠に明確な説明を与え，その証明を見通し良く改良することができた．この成果は論文にまとめ，査読付き雑誌に投稿した．一方，いくつかの双曲型のクイバーに付随する表現に対して，正則な概均質ベクトル空間を与えるための次元ベクトルの条件を決定することに成功している．しかしながら，これらは依然として散発的な結果である．2022年度は，とくに星形クイバーに付随する表現を精密に分析し，基本相対不変式をただ１つ持つ典型的な（typicalな）概均質ベクトル空間を特徴づけようとした．星形クイバーについても散発的な結果が出ているものの，証明に必要は場合分けが複雑なため，まだ完成に至っていない．今後も引き続き傾加群やCoxeter群の観点から検討を続けていく必要がある．なお，これまで得られた部分的な結果を，2023年３月に城西大学で開催された研究集会で報告している．