概均質ベクトル空間の量子変形と相対不変式

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佐藤幹夫氏、木村達雄氏によって分類された相対不変式を持つ既約簡約概均質ベクトル空間30種の内、次数付き単純リー環の次数1の所に埋め込める23種について、以下の結果を得ました。Drinfeldと神保道夫氏によって得られた、単純リー環の包絡環の量子変形である量子群(量子包絡環)と、Lusztigが定めた、量子群上への絡み目群の作用を使ったPBW基底を用い、その量子変形として、ベクトル空間の座標環に対応する非可換環の生成兀と基本関係式を得ることができました。基本関係式は、座標環の座標関数の間の交換関係式になっており、qを1とすることにより可換な関係式に戻るようになっています。この非可換環は、先のPBW基底で生成される部分環を、先の絡み目群の作用で作られる座標関数にあたるルートベクトルに対応する元の内次数が-2以下のもので生成される両側イデアルで商をとることで得ることができることがわかりました。また、ベクトル空間へ作用する代数群のリー環の量子変形したものの、この非可換環への作用を、先の両側イデアルがこの量子変形したものの随伴作用で安定になるように作ることで得ることができました。そして、先のPBW基底で生成される部分環は、この随伴作用で安定しています。相対不変式を持つ概均質ベクトル空間では、その量子変形に相当する非可換環の元を求めることができました。