断層撮影技術の基礎となる微分方程式の未知係数決定逆問題にかかる総合的解析

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本研究課題は, 拡散光トモグラフィ (Diffuse Optical Tomography (DOT)) に対する研究代表者の提案手法の実用化に向けた数学解析である. DOT は近赤外光を用いた次世代の非侵襲的断層撮影技術であり, 定常輸送方程式と呼ばれる微分積分方程式の未知係数決定逆問題として数理モデル化される. この逆問題に対して研究代表者はこれまでに実現可能と思われる解法を提案しているが, 観測誤差の影響やデータの観測可能性の検討がまだ十分になされていない. 数学解析の視点でこの検討を行い, 研究代表者の提案手法による DOT の実現可能性を明らかにすることが本研究の目的である.令和3年度には2次元領域での数値実験を実施し, 散乱の影響が小さい場合には研究代表者提案手法が機能することが確認された. 令和4年度はこの数値実験を3次元領域の場合に実施し, 2次元の場合と同様に断層撮影技術として機能することが確認された.また, 数値計算の精度と関連して, 定常輸送方程式と同様の微分積分方程式である定常線型 Boltzmann 方程式の解の正則性を精査した. 領域が十分小さくその境界のGauss 曲率が一様に正の場合には解が Sobolev 空間 H^1 に属するが, 領域が薄い平行平板の場合には解の偏導関数の特異性に起因して解が H^1 に属さないことが確認された. この偏導関数の特異性は境界の平坦さから生じるもので, 有界領域であっても境界に平坦な部分が存在すれば同様の特異性が生じることが予想される.本研究では現象や観測のスケールを考察することが重要と認識しているが, それと関連して楕円型正則化の収束評価を精密に与えた. この収束評価は境界条件に依存するもので, 本研究課題に適用する際にはそこで課される境界条件に対する注意が必要であることが分かった.