偏微分方程式論の幾何学及び確率論的問題への応用

偏微分方程理论在几何和随机问题中的应用

• 批准号: 04640212
• 负责人: 堤 誉志雄
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1992
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1992 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-04640212/
• 关键词: 流体力学的極限; 特異摂動; 初期層; 分岐問題; シュレディンガー作用素; スペクトル理論

3次の非線形性を持つ非線形シュレデインガー方程式は、物理的には、シュレデインガー方程式と波動方程式が非線形に連立した方程式系であるザハロフ方程式のイオン音波速度定数を無限大にした時の極限として得られると考えられている。このような極限移行は通常流体力学的極限と呼ばれており、偏微分方程式論のみならず確率論においても重要で興味深い問題である。上記の問題は、数学的には特異摂動の問題となり、イオン音波速度定数を無限大に近づけたときに、初期時刻の近傍でザハロフ方程式の解において、初期層と呼ばれる特異性が発生する。この特異性生成のメカニズムとその性質を調べることも重要な問題である。すでに部分的な結果はいくつか得られていたが、今回特異極限における初期層生成のメカニズムと初期層が果たしている役割を偏微分方程式論の立場から、ほぼ完全に解析することに成功した。また最近は、単に理論的に解析するだけではなく、数値計算によって偏微分方程式を調べるということも、応用上重要である。今回非圧縮性ナヴィエ・ストークス方程式の分岐問題について数値実験を行い、2次分岐の発生やカタストロフ理論におけるカスプ点に相当するものが存在することを捕らえた。力学的対称性を持つ電磁場の粒子の運動を記述する量子力学系の解析は、幾何学的にはリーマン多様体上のシュレデインガー作用素のスペクトル理論と考えられる。従来、非コンパクトリーマン多様体上のシュレデインガー作用素の理論はよく研究されてきたが、今回不変な電磁場が入ったモデルを考え、コンパクトリーマン多様体上の群の作用とシュレデインガー作用素のスペクトルの関係について調べた。

据信，当Zakharov方程的离子声速度常数（Schroedinger方程的非线性系统和波动方程的非线性系统）成为无限的无线性系统时，可以从物理上获得具有第3阶非线性的非线性Schroedinger方程。这种极端的过渡通常称为流体动力学极限，不仅在部分微分方程理论中，而且在概率理论中也是一个重要而有趣的问题。上面的问题在数学上是一个奇异扰动的问题，当离子声速度常数接近无穷大时，一种称为初始层的奇异性发生在Zakharov方程的解决方案附近。研究这种特异性产生的机制及其特性也是一个重要的问题。尽管已经获得了一些部分结果，但我们现在设法在单一层中彻底分析了初始层产生的机理，以及初始层在部分微分方程理论的作用中所起的作用。最近，对于应用程序而言，不仅是理论分析，而且还通过数值计算来研究部分微分方程也很重要。这次，我们对不可压缩的Navier-Stokes方程的分叉问题进行了数值实验，并捕获了二次分支事件的存在和灾难理论中的尖点。用机械对称性的电磁场中描述颗粒运动的量子机械系统的分析在几何上被认为是Riemann歧管上Schrodeinger操作员的光谱理论。已经对施罗辛格运营商在非紧凑型Riemann歧管上的理论进行了充分的研究，但是在本文中，我们考虑了一个具有不变的电磁场的模型，并研究了组对紧凑型Riemann歧管的影响与Schroedinger操作员的光谱之间的关系。

项目成果

H.Okamoto: "The Stokes expansion method to the bifurcation problem of plane progressive water waves" Lecture Notes in Num.Appl.Anal.11. 137-152 (1991)

H.Okamoto：“平面渐进水波分叉问题的斯托克斯展开法”讲座笔记，Num.Appl.Anal.11。

K.Ahara: "Linear discrete model for shortening polygons" J.Faculty of Science,Univ.of Tokyo,Sect.IA. 39. 365-377 (1992)

K.Ahara：“缩短多边形的线性离散模型”J.Faculty of Science,Univ.of Tokyo,Sect.IA。

T.Tsuboi: "Ratinality of piecewise linear foliations and homology of the group of piecewise linear homeomorphisms" L'Enseignement Mathematique. 38. 329-344 (1992)

T.Tsuboi：“分段线性叶状结构的理性和分段线性同胚群的同源性”LEnseignement Mathematique。

T.Ozawa: "Existence and smoothing effect of solutions for the Zakharov equations" Publ.RIMS,Kyoto Univ.28. 329-361 (1992)

T.Ozawa：“Zakharov 方程解的存在性和平滑效应”Publ.RIMS，Kyoto Univ.28。

T.Ozawa: "The nonlinear Schrodinger limit and the initial layer of the Zakharov equations" Differential Integral Eqns.5. 721-745 (1992)

T.Ozawa：“非线性薛定谔极限和扎哈罗夫方程的初始层”微分积分方程5。