Research on a complexification of hyperbolic tetrahedra

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以前の研究により，色付き Jones 多項式と双曲体積の関係から導かれた「体積予想」を，量子 6j 記号と双曲多面体との関係に適用することで，双曲空間中の四面体の体積公式が得られている．また，この体積公式は，各辺での２面角や辺の長さに関する解析的な関数となっており，３次元球面中の四面体の体積公式にも拡張されている．体積公式での変数は角度，もしくは長さという，実数で表される数なのであるが，本研究では，この体積公式の変数を複素化したものに対応すると考えられる一般化された四面体について，その幾何的な実態がどのようなものかを明らかにすることを目指している．本年度は，テキサス大学ダラス校の Tran 教授との共同研究により，２橋結び目の色付き Jones 多項式を，量子 6j 記号をもちいて構成した．双曲体積は，色付き Jones 多項式のある種の極限であるポテンシャル関数の特異点での値と対応し，このとき，各量子 6j 記号の値の和が双曲堆積となるので，色付き Jones 多項式を構成する量子 6j 記号が，結び目補空間のある部分と対応するはずだということが示唆される．結び目補空間の双曲構造の研究には，補空間の基本群の PSL(2, C) 表現もよく使われているのであるが，今年度の研究では，ポテンシャル関数の特異点に対応する量子 6j 記号のパラメータ（辺や角の複素化に対応するもの）と，その辺と対応する基本群の PSL(2, C) 表現の行列の固有値との関係についても明らかにすることができ，これにより，辺や角の量子化が Fenchel-Nielsen 座標と対応することが明らかになった．