Geometric quantum representations of discrete groups and their extension to higher category

点击翻译按钮获取中文摘要

研究代表者はベクトル束のホロノミーの理論を高次圏に拡張する研究を進めた。特に、2次元ホロノミーについて考察し、ベクトル束の2-接続のホロノミーをChenによるコバー構成法による非可換形式的べき級数環に値をとる接続を用いて、反復積分を用いた普遍的な表示を得た。また、この構成を配置空間のループ空間のホモトピー周期、組みひもコボルディズム圏の表現に応用した。これらは、結び目に対するKontsevich積分の高次圏への拡張を与える。また、Temperley-Lieb-Jones圏について研究し、共形場理論における共形ブロックの空間との関係を明らかにした。具体的には、Temperley-Lieb-Jones圏の射の集合と，Wess-Zumino-Witten理論の共形ブロックの空間の同型を証明し組みひも群の作用が同変的であることを示た．この方法によって組みひも群既約でユニタリ表現を組織的に構成する手法を開発し、量子計算への応用について研究を進めた。また、組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現との関連を明らかにした。共形場理論の場合は無限遠でレゾナントであり共形ブロックへの組みひも群の表現は量子群の1のベキ根における表現の対称性をもつ。この場合に、積分サイクルの構造を詳しく調べて，KZ方程式が，代数多様体の周期積分の満たす微分方程式として表されることを示した。研究分担者、鈴木正明、逆井卓也はLMO関手を用いたホモロジーシリンダーの研究を進め、曲面の写像類群についての新たな知見を得た。また、研究分担者北山貴裕は、結び目群のSL(2)表現空間の研究を行い、ホモロジー・セルマー群についての結果を得た。以上のように研究グループでは、組みひも群、写像類群、結び目群など、位相幾何学における重要な離散群の表現論とその量子化、圏論的手法を用いた量子位相不変量の研究において成果を挙げた。