調和解析における実関数論の方法とその応用

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多重線形の擬微分作用素の理論で、シンボルの導関数が決まった関数で抑えられるS_{0,0}と呼ばれるクラスのシンボルを持つ多重線形擬微分作用素のLebesgue空間、Hardy空間、BMO空間の間での有界性については、これまでにほぼ満足のいく結果を得ていた。2022年度には、或る特殊な形の双線形フーリエ乗子作用素の研究に力を入れた。我々の研究に先立ち、Rodriguez-Lopezらは2014年以降に、S_{1,0}クラスという良いクラスのシンボルに斉次1次の相関数をもつ振動項を入れた特殊の双線形擬微分作用素やそれを一般化したFourier積分作用素を考察し、それらの双線形作用素に対してはS_{0,0}クラスの一般論から出る評価より良い評価が成り立つ、という結果を得ていた。2022年度には、特殊な直積型の振動項を含む双線形Fourier乗子作用素を考察し、Rodriguez-Lopezらの結果を改良する新しい結果を得た。特殊な多変数球対称関数のFourier級数に対して、1変数のFourier級数の場合に知られているGibbsの現象や多変数の場合のPinskyの現象などに関係した級数の発散の様子を詳しく調べた。また、絶対収束するFourier級数を持つ関数のなす関数環を一般化した或る関数環に対して、それに作用する関数が解析関数に限る場合とそうでない場合があることを確認した。非負関数に関する不等式の研究で、これまで２進立方体の族の持つ入れ子構造を基礎として展開されていた２進立方体の理論を、直方体の族の場合に一般化し、２進直方体の解析の理論を展開した。対称なマルコフ半群によって定義される分数階積分作用素の理論を、一般の重み関数に関する分数階積分作用素にまで拡張し、それを応用してHeisenberg群上のsub-Laplacianの生成する消散過程の半群の性質を調べた。