種々の関数空間における因数分解の研究

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因数分解の問題ではっきりした解答が得られたものはなかったが、問題解決への途中の結果と考えられるいくつかの知見を得ることができた。Hardy空間の強い形の因数分解の問題については、内山明人によるある種のマルチンゲールに関する因数分解定理の証明を再検討した結果、同様の論法を通常の特異積分の場合へ一般化するには、扱う領域が有限領域で有限測度を持つと具合がよいことがわかった。そこで、特異積分作用素と実関数論的なHardy空間とをユークリッド空間の有界領域上で考えてみた。領域上のHardy空間と特異積分作用素に関しては既に、Chang-Krantz-Stein(1993)、Chang-Dafni-Stein(1999)による研究があったが、彼等とは違う設定のHardy空間において特異積分作用素が有効に扱えることがわかった。我々の設定では領域上にdoubling conditionをみたす測度が与えられているとし、領域上のdistributionに対して最大関数を定義し、その最大関数が与えられた測度に関してp乗可積分であるようなdistributionの全体をもって、Hardy空間と定義する。このHardy空間に対して、アトム分解、関数の掛け算、領域の微分同相写像による変数変換、等の基本的な性質を確立した。さらに、領域が1次元の開区間である場合に、古典的なJacobi級数に対するMuckenhouptらによる移植定理を、我々のHardy空間を用いて一般化することができた。我々の移植定理の本質は,ある特異積分作用素のHardy空間での有界性の主張である。有界領域上のHardy空間で移植定理を示すことができたことは、因数分解の問題の解決へのひとつのステップと考えている。合成積に関する因数分解の問題について、Huntによる合成積の評価の研究を検討した結果、L^pだけで考えるのは不自然で、Lorentz空間L^<(p, q)>を扱うのが自然であることがわかった。