保型形式の周期とL関数・ゼータ関数の研究

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本研究では, 保型形式の周期と保型L関数の解析的性質を結びつけることを目標にしている. 今年度は, 保型形式の周期積分と保型L関数の特殊値との明示的な関係式を求めるという問題に取り組んだ. そのような関係式は, 局所体上の群の表現の行列係数を積分して得られる局所周期を使って, Euler積の形で書けると期待される. 本研究で扱う線型周期の場合, そのような行列係数の積分は一般に収束しないため, 積分の正規化が必要になる. 本年度の研究では, 局所相対截頭作用素を使って積分を正規化し, 正規化した積分の解析接続を示すことで局所周期を構成することができた.また, 前年度まで取り組んでいた, 局所体上の一般線型群とその内部形式の表現が線型周期を持つための条件に関するプラサド-タクルー=ビガシュ予想(PTB予想)に対しても, 残っている場合(剰余標数2の場合)も含めて証明できる可能性があることがわかった. 局所体上の一般線型群表現に対するラングランズ対応を, 内部形式の表現もまとめて扱う形で書き直すと, 局所ガン-グロス-プラサド予想と同様の形でPTB予想を再定式化することが可能である. この再定式化した形のPTB予想の主張は, チェン-ワンによって一般に予想されている重複度公式から直ちに従うことがわかるので, 線型周期に対する重複度公式の証明に問題が帰着される. これは当初想定していなかった進展であり, 今後の研究では, 線型周期に対する重複度公式の証明に取り組む.