Geometry of Moduli spaces of Connections and Higgs fields and their Applications

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本年度は、代数曲線上の安定放物接続と安定放物Higgs場のモジュライ空間MとM_Hの見かけの特異点理論を中心に研究を進めた。この研究で明らかになった重要な事実として、安定放物接続および安定Higgs接続で特異点を一点以上許し既約なものは、代数曲線上の有理１型式の直線束のべきの直線束の直和のベクトル束上の接続やHiggs場の見かけの特異点における初等変換によって得られるという事である。このことから、安定放物接続のモジュライ空間のある開集合上の良い座標として、見かけの特異点q_iとその双対ｐ_iが取れることが分かる。このことは、古典的な見かけの特異点理論を現代的に焼き直したものと言えるが、さらにMおよびM_Hの代数的シンプレクテック構造を与える２形式の具体的な表示を与え,Mの場合には、モノドロミー保存変形を記述することが興味深い。これらの事は、代数曲線が射影直線の場合は、Dubrovin-Mazzoccoが示しているが、種数が２以上の場合に岩崎が階数２で示している事の拡張になっている。MおよびM_Hの次元が２の場合は、パンルヴェ方程式の初期値空間の立場から、様々な研究者によち構造が精密に記述されているが、次元が４以上の場合の構造も記述される事が期待される。この事により、MおよびM_Hのコホモロジーが決定され、幾何学的ラングランズ対応との関連が期待される。光明、Lorayとともに、射影直線上の不確定特異点をもつ階数２の放物接続に対応する放物ベクトル束のモジュライ空間とその自然なコンパクト化の構造を調べた。また、量子曲線と位相的漸化式等とパンルヴェ方程式との関係についてワークショップを開催して情報交換および考察を行った。