多項式環の指数自己同型の余順性

本年度は主に二つの問題に取り組んだ。一つ目の問題は、3変数において順な指数自己同型の階数は2以下であるという予想である。二つ目の問題は、3変数において順部分群と自己同型群の中間部分群が存在するかどうかという問題である。昨年度までの余順性に関する研究により、アフィン自己同型とある指数自己同型で生成される部分群が融合積を持つ場合、その部分群に属する指数自己同型はアフィン自己同型とある指数自己同型で共役を取ったような綺麗な形の積で表されることが分かった。このことから、階数に関係する問題は、考えたい部分群に融合積の構造を持たせることが有効と言える。しかし、生成された部分群は単純には融合積を持つことはなく、関係式等を与える必要がある。加えて、必ずしも融合積を持つという保証がないのが問題点としてある。一つ目の問題に関して、順かつ余順な指数自己同型とアフィン自己同型は順部分群を生成する。順かつ余順な指数自己同型の例は多くあるが、主にDarksenの例を用いて研究を行った。二つ目の問題に関しては、永田自己同型とアフィン自己同型で生成される部分群は階数3の指数自己同型を含まないという予想の元、研究を行った。これら二つの問題に対して、関係式等を与えることで部分群に融合積の構造を持たせる工夫を行ったが、どちらも解くことはできなかった。また、本年度は第17回多項式環論セミナーにて野生かつ非余順な多項式環の自己同型に関する講演を行った。

本年度は主に二つの問題に取り組んだ。一つ目の問題は、3変数において順な指数自己同型の階数は2以下であるという予想である。二つ目の問題は、3変数において順部分群と自己同型群の中間部分群が存在するかどうかという問題である。昨年度までの余順性に関する研究により、アフィン自己同型とある指数自己同型で生成される部分群が融合積を持つ場合、その部分群に属する指数自己同型はアフィン自己同型とある指数自己同型で共役を取ったような綺麗な形の積で表されることが分かった。このことから、階数に関係する問題は、考えたい部分群に融合積の構造を持たせることが有効と言える。しかし、生成された部分群は単純には融合積を持つことはなく、関係式等を与える必要がある。加えて、必ずしも融合積を持つという保証がないのが問題点としてある。一つ目の問題に関して、順かつ余順な指数自己同型とアフィン自己同型は順部分群を生成する。順かつ余順な指数自己同型の例は多くあるが、主にDarksenの例を用いて研究を行った。二つ目の問題に関しては、永田自己同型とアフィン自己同型で生成される部分群は階数3の指数自己同型を含まないという予想の元、研究を行った。これら二つの問題に対して、関係式等を与えることで部分群に融合積の構造を持たせる工夫を行ったが、どちらも解くことはできなかった。また、本年度は第17回多項式環論セミナーにて野生かつ非余順な多項式環の自己同型に関する講演を行った。