Developments and Applications of Geometric Singularity Theory

本研究課題の目的は，幾何構造に関連して重要な方程式の幾何学的解および解曲面を，幾何学的制御理論の側面からその対称性・双対性・特異性に注目して研究することである．2022年度は，研究課題の目的に従い，フロンタル曲線の接線の織りなす接線曲面について，平行フロンタルの特異性に関する結果とその幾何学的不変量を求める新たな方法を与える研究を推進し，その成果の論文を学術雑誌の東北大学数学雑誌から出版することができた．また，7次元多様体上の階数4の分布で，増加ベクトルが (4, 7) のもの，とくに，双曲C_3型分布の特異曲線に関する研究を (3, 6) 分布，B_3型分布との関連を含め完成に近づけることができた．さらに，2021年度に発見した対象である「特異曲面」，すなわちその曲面上の任意の曲線が特異積分曲線になるような分布の例を2022年度においてさらに構成することができた． その一方で，一般的なリーマン曲面の接触サブリーマン測地線のルジャンドル特異点の完全な分類を行った．この場合は扱う分布は接触分布であるので特異曲線は現れないが，サブリーマン測地線にいわゆるルジャンドル特異点は現れることになる．そのルジャンドル特異点の完全な分類を与えることに成功し，現在投稿準備中である．さらに，接線曲面と関連しで二重数(dual number)上の特異点論を創始し，その視点から複素特異点と実特異点の関係を考察することができた．さらに，フロンタル・ジェットに関する研究を進めることができた．これらの研究を推進できたこと，そしてその成果を発表できたことは，本件研究課題の幾何学的特異点論の発展にとって非常に本質的であると考えられる．2022年度は，国内の出張の旅費，および，課題研究のための参考図書の購入に予算を使用した．

本研究課題の目的は，幾何構造に関連して重要な方程式の幾何学的解および解曲面を，幾何学的制御理論の側面からその対称性・双対性・特異性に注目して研究することである．2022年度は，研究課題の目的に従い，フロンタル曲線の接線の織りなす接線曲面について，平行フロンタルの特異性に関する結果とその幾何学的不変量を求める新たな方法を与える研究を推進し，その成果の論文を学術雑誌の東北大学数学雑誌から出版することができた．また，7次元多様体上の階数4の分布で，増加ベクトルが (4, 7) のもの，とくに，双曲C_3型分布の特異曲線に関する研究を (3, 6) 分布，B_3型分布との関連を含め完成に近づけることができた．さらに，2021年度に発見した対象である「特異曲面」，すなわちその曲面上の任意の曲線が特異積分曲線になるような分布の例を2022年度においてさらに構成することができた． その一方で，一般的なリーマン曲面の接触サブリーマン測地線のルジャンドル特異点の完全な分類を行った．この場合は扱う分布は接触分布であるので特異曲線は現れないが，サブリーマン測地線にいわゆるルジャンドル特異点は現れることになる．そのルジャンドル特異点の完全な分類を与えることに成功し，現在投稿準備中である．さらに，接線曲面と関連しで二重数(dual number)上の特異点論を創始し，その視点から複素特異点と実特異点の関係を考察することができた．さらに，フロンタル・ジェットに関する研究を進めることができた．これらの研究を推進できたこと，そしてその成果を発表できたことは，本件研究課題の幾何学的特異点論の発展にとって非常に本質的であると考えられる．2022年度は，国内の出張の旅費，および，課題研究のための参考図書の購入に予算を使用した．