Investigation of operator algebras associated to number fields

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Bost--Connes系に端を発する数論由来のC*-環を本研究では扱っている．昨年３月に発表した論文（C. Bruceと共著）では，代数体の乗法群の有限アデール環への作用から接合積C*-環を構成し，そのC*-環はもとの代数体を完全に憶えている，という剛性定理を証明した．このC*-環はArledge--Laca--Raeburnが扱ったことのあるC*-環であり，非常に単純な構成法で得られるものであったが，剛性定理が示されたことで研究する価値のあるC*-環であることが分かったと言える．Bost--Connes 系や半群C*-環からこのC*-環に至るまで，数論由来のC*-環は，そのほとんどが有限アデール環やそれに近い対象から構成されている．有限アデール環を全アデール環に置き換えたらどうなるのか，というのは非常に自然な疑問である．９月に発表した論文（C. Bruceと共著）ではこの問題を扱っている．結論としては，代数体の乗法群の全アデール環への作用から接合積C*-環を構成してもなお，そのC*-環はもとの代数体を完全に憶えているという，全く同じ形の剛性定理が成り立つ．このC*-環の原始イデアル空間はもとの代数体の素点全体と自然な対応関係を持つが，原始イデアル空間の位相構造が面白く，素点全体の冪集合とイデール類群が奇妙なくっつき方をした形をしている．原始イデアル空間の決定は９月の論文の１つ目の主定理であり，Laca--Raeburnの結果の一般化である．２つ目の主定理では，素点が実であるか，虚であるか，有限であるかを，作用素環的K-理論のある境界準同型の全射性・単射性による特徴付けを与えている．この２つの主定理の帰結として，昨年３月の論文に帰着する形で剛性定理が示される．その他，一昨年度および昨年度に発表したグラフ環のKMS状態に関する２本の論文（一昨年度のものはC.Bruceと共著，昨年度のものは単著）はどちらもJ. Operator Theoryにアクセプトされた．