厳密なくりこみ群による，低温相からの臨界現象の解明

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臨界現象の解明は，統計力学の数理的研究における大きな研究テーマの一つである． 1970年代に「くりこみ群」のアイディアが物理学者によって確立されてからほぼ10年で，その数学的に厳密な研究の一端が完成した．特に，「高温相」から臨界点に近づく際の臨界現象については，ある程度満足の行く厳密な結果が得られた．ところが，系がその「低温相」側から臨界点に近づく場合の臨界現象は，これまでほとんど厳密には解明されないままで，低温相側からの臨界現象の解明は，臨界現象の数学的解析の中での，大きな未知のフロンティアである．本研究では，厳密くりこみ群の手法を発展させて，この最後の フロンティアを開拓することを主目的としている．特にイジング模型および関連するφ4模型における低温相からの臨界現象の解明をめざしている．これまでに内外の専門家と深く議論し，どのようなアプローチが可能か，それらの内包する困難は何か，などを探ってきた．その結果として，当初に想定していたアプローチは，方向としては正しいという確信を得た．ただし，その議論の中で，（当初から予想して いたことではあるが）いくつかの困難も当然， 明確になってきた．特に，当初から予想していた「large field の 問題」が，まだ完全には解決されていない．現在，これらの困難（特に large field の問題）を解決すべく，様々な例にたいして計算を行っている．しかし一方で，この問題と関連した「エネルギー空間でのくりこみ群」のアプローチに2年ほど前に思い至った．この方向での解析を進めた結果，関連した問題（特に量子統計力学における緩和時間の問題）にもこの考え方が有効であるとの確信を得た．これも非常に面白いのでこの方向の研究をも進めている．