捩れ対の多角化についての研究

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捩れ対の多角化の際に障碍となるものは、部分圏の局所化（商圏）に必ずしも良い構造が入らないことである。たとえば三角圏の三角部分圏なら、商圏には自然な三角圏構造が入るが、三角でない部分圏に対する商圏についてはよくわからない部分がある。 このような部分圏に対して商圏を考えたい理由は、三角部分圏でないものの貼り合わせでも三角圏を作ることができることがあるからである。部分圏の貼り合わせが良い構造を持つためのひとつの要件は、直交性であった。この観点から、本年度は、三角圏やアーベル圏ではない圏の直交性について調べた。ネーター環上の加群の安定圏は一般に三角圏ではないが、三角圏であるホモトピー圏に充満部分圏として埋め込むことができることを、研究代表者はかつて示した。埋め込まれた安定圏は従って三角部分圏とは限らない。最近、埋め込まれた安定圏を含む最小の三角部分圏（三角閉包）がS.Nitscheにより研究され、環が有限次元代数の場合に、それは入射射影加群の直交圏であることが明らかになった。ホモトピー圏への埋め込みの対称性に起因する興味深い結果である。定理の証明の中でNitscheは、入射射影加群に直交する鎖複体はコホモロジー加群がある意味で「捩れている」ことを示した。研究代表者はこの現象に着目し、逆が成り立つことの直接証明を与えた。コホモロジー加群に捩れがあれば、鎖複体は安定圏から構成できる。この事実は、鎖複体のコホモロジー加群の捩れを三角圏的に測ることができることを意味する。